Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para calcular integral0^4(-x^2-1) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de de 0 a 4 usando a soma de áreas de retângulos circunscritos. Isso faz parte do estudo de integração no cálculo, onde a gente aproxima a área sob uma curva usando retângulos. Vamos precisar entender como somar essas áreas para chegar ao resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral definida, como , representa a área líquida entre a curva da função e o eixo no intervalo de 0 a 4. Como a função é negativa nesse intervalo, a área será representada como um valor negativo.

Passo 3

Para aproximar essa área, vamos dividir o intervalo de integração em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá largura .

Passo 4

Como estamos usando retângulos circunscritos, ou seja, retângulos que ficam totalmente acima da curva (como a função é negativa, seriam abaixo do eixo ), vamos calcular a altura de cada retângulo usando o valor máximo da função em cada subintervalo. Nesse caso, para cada subintervalo , o valor máximo de ocorre no ponto .

Passo 5

A altura de cada retângulo será . A área de cada retângulo é então .

Passo 6

A soma das áreas de todos os retângulos será:
sumi=1^n ( -xi-1^2 - 1 ) De
Isso é uma aproximação Riemann pela soma inferior, já que estamos usando os valores máximos das funções negativas.

Passo 7

Para encontrar o valor exato da integral, vamos calcular o limite dessa soma quando integral0^4 (-x^2 - 1) , dx = limn to infty sumi=1^n ( -xi-1^2 - 1 ) De tende ao infinito:

Passo 8

Agora, calculamos a integral diretamente usando antiderivadas:
integral (-x^2 - 1) , dx = -x^33 - x + C
onde é a constante de integração.

Passo 9

Aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[ -4^33 - 4 ] - [ -0^33 - 0 ] = ( -643 - 4 ) - 0 = -643 - 123 = -763

Resposta

O valor da integral é .

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