Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
de 0 a 4 usando a soma de áreas de retângulos circunscritos. Isso faz parte do estudo de integração no cálculo, onde a gente aproxima a área sob uma curva usando retângulos. Vamos precisar entender como somar essas áreas para chegar ao resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral definida, como
, representa a área líquida entre a curva da função e o eixo
no intervalo de 0 a 4. Como a função é negativa nesse intervalo, a área será representada como um valor negativo.
Passo 3
Para aproximar essa área, vamos dividir o intervalo de integração em
subintervalos iguais. Cada subintervalo terá largura
.
Passo 4
Como estamos usando retângulos circunscritos, ou seja, retângulos que ficam totalmente acima da curva (como a função é negativa, seriam abaixo do eixo
), vamos calcular a altura de cada retângulo usando o valor máximo da função em cada subintervalo. Nesse caso, para cada subintervalo
, o valor máximo de
ocorre no ponto
.
Passo 5
A altura de cada retângulo será
. A área de cada retângulo é então
.
Passo 6
A soma das áreas de todos os retângulos será:
Isso é uma aproximação Riemann pela soma inferior, já que estamos usando os valores máximos das funções negativas.
Passo 7
Para encontrar o valor exato da integral, vamos calcular o limite dessa soma quando
tende ao infinito:
Passo 8
Agora, calculamos a integral diretamente usando antiderivadas:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Resposta
O valor da integral
é
.