Utilize as tabelas adequadas e determine: (2,5) f(t) para F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+2 s+2\right)}
Passo 1
O enunciado pede para determinar f(t) a partir da transformada de Laplace dada:
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+2 s+2\right)}.
Informações fornecidas relevantes:
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+2 s+2\right)}.
A tarefa é calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} usando tabelas (pares usuais da transformada de Laplace) e técnicas algébricas.
Passo 2
Observação útil sobre o denominador quadrático: vamos completar o quadrado em s^{2}+2s+2 para identificar um termo no formato (s+a)^{2}+b^{2}, que é padrão nas tabelas.
s^{2}+2s+2 = (s+1)^{2}+1.
Isso indica que termos do tipo \dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+1} e \dfrac{1}{(s+1)^{2}+1} corresponderão, respectivamente, a e^{-t}\cos t e e^{-t}\sin t nas tabelas (ver explicação de pares no Passo 6).
Passo 3
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais do tipo
Explicando: \frac{1}{s} é a transformada de Laplace da função constante 1 (para t\ge 0).
Par 2 (deslocamento no eixo s): \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Aqui a=1 e b=1. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1}\right\}=e^{-t}\cos t.
Explicando: o termo (s+1) no numerador corresponde ao cosseno multiplicado pela exponencial e^{-t}.
Par 3: \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Com a=1, b=1 temos \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}+1}\right\}=e^{-t}\sin t, pois aqui b=1 (não há fator extra).
Agora aplicamos estes resultados aos termos de F(s):
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=30 -30\cdot e^{-t}\cos t -26\cdot e^{-t}\sin t.
Podemos fatorar e^{-t} se quisermos, mas a forma acima já é clara.