Utilize o tableau semântico para verificar a validade das seguintes formas de argumento.
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Passo 1
O que o enunciado pede: verificar, usando o tableau semântico, se as seguintes fórmulas (premissas) implicam logicamente a conclusão dada. Ou seja, queremos saber se as premissas tornam a conclusão verdadeira em toda interpretação. As fórmulas são:
O procedimento do tableau vai assumir as premissas verdadeiras e a conclusão falsa e verificar se isso leva a contradições em todas as ramificações. Se todas as ramificações fecharem (contradição em cada uma), o argumento é válido; se existir uma ramificação aberta, encontramos um contraexemplo e o argumento é inválido.
Passo 2
Regras básicas de tableau que usaremos (de forma didática):
- Para uma fórmula assinada
(ou seja, verdadeira) aplicamos a regra de condicional que gera uma bifurcação: ou ou . Em notação: dá duas sub-ramificações . - Para
(condicional falsa) aplicamos a regra conjuntiva: colocamos e na mesma ramificação. - Para
(disjunção verdadeira) abrimos uma bifurcação: . - Para
é equivalente a ; para é equivalente a . - Uma ramificação fecha quando ela contém uma fórmula e sua negação assinadas de forma contraditória, por exemplo
e na mesma ramificação.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao conjunto inicial.
Passo 3
Montamos o tableau inicial assumindo as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Escrevemos as fórmulas assinadas:
A tarefa é desenvolver esse tableau até ver se todas as ramificações fecham.
Passo 4
Aplicamos a regra para
à terceira linha. Isso nos dá
e
na mesma ramificação:
Então o conjunto atual em cada ramificação conterá também
e
, além de
e
.
Passo 5
Aplicamos a regra para
: isso gera duas ramificações (bifurcação):
- Ramificação I:
- Ramificação II:
, que por sua vez equivale a
Em ambas as ramificações carregamos também
,
e
.
Passo 6
Trabalhamos a Ramificação I (onde temos
e
) e aplicamos a regra para
. Essa regra bifurca em
.
- Sub-ramo I.1: adiciona
. Mas já tínhamos . e na mesma sub-ramificação é contradição → sub-ramo I.1 fecha. - Sub-ramo I.2: adiciona
. Mas já temos . e é contradição → sub-ramo I.2 fecha.
Portanto toda a Ramificação I fecha.
Passo 7
Agora tratamos a Ramificação II (onde temos
e
e também
e
). Aplicamos
, que bifurca em
.
- Sub-ramo II.1:
. Isso contradiz imediatamente → sub-ramo II.1 fecha. - Sub-ramo II.2:
. Ainda temos em II.2 as fórmulas , , , além de .
O sub-ramo II.2 permanece aberto até aplicarmos a segunda regra condicional; vamos fazer isso agora.
Passo 8
Aplicamos
na sub-ramificação II.2. Pela regra de condicional
aplicamos
. Aqui
é
e
é
. Portanto as alternativas são:
- Opção A:
, que equivale a . - Opção B:
.
Aplicando essas duas opções em II.2:
- II.2.A: adiciona
. Mas já temos na mesma ramificação → contradição → fecha II.2.A. - II.2.B: adiciona
. Mas já temos em II.2 → contradição → fecha II.2.B.
Portanto ambas as bifurcações geradas por
fecham a sub-ramificação II.2.
Passo 9
Resumindo: Ramificação I fechou por completo (Passo 6). Na Ramificação II, todos os sub-ramos também fecharam (Passos 7–8). Não restou nenhuma ramificação aberta no tableau: todas as possibilidades assumindo as premissas verdadeiras e a conclusão falsa levam a contradição.
Em linguagem do tableau: não existe ramificação aberta que contenha um modelo (atribuição de valores) que faça as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo não existe contraexemplo.
Passo 10
Conclusão lógica do procedimento: como todo o tableau fechou, as premissas implicam a conclusão em todas as interpretações. Em outras palavras, o argumento é válido — sempre que as premissas
e
são verdadeiras, a fórmula
também é verdadeira.
Resposta
O argumento é válido.