Utilize o tableau semântico para verificar a validade das seguintes formas de argumento.
  1. \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}
  2. \sim B \rightarrow C
  3. \therefore(A \vee \sim C) \rightarrow B

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar, usando o tableau semântico, se as seguintes fórmulas (premissas) implicam logicamente a conclusão dada. Ou seja, queremos saber se as premissas tornam a conclusão verdadeira em toda interpretação. As fórmulas são:
\text{(1)}\quad A \rightarrow B
\text{(2)}\quad \sim B \rightarrow C
\text{Conclusão:}\quad (A \vee \sim C) \rightarrow Bã
O procedimento do tableau vai assumir as premissas verdadeiras e a conclusão falsa e verificar se isso leva a contradições em todas as ramificações. Se todas as ramificações fecharem (contradição em cada uma), o argumento é válido; se existir uma ramificação aberta, encontramos um contraexemplo e o argumento é inválido.

Passo 2

Regras básicas de tableau que usaremos (de forma didática):
  • Para uma fórmula assinada T(\varphi \rightarrow \psi) (ou seja, \varphi \rightarrow \psi verdadeira) aplicamos a regra de condicional que gera uma bifurcação: ou F\varphi ou T\psi. Em notação: T(\varphi\rightarrow\psi) dá duas sub-ramificações F\varphi \mid T\psi.
  • Para F(\varphi\rightarrow\psi) (condicional falsa) aplicamos a regra conjuntiva: colocamos T\varphi e F\psi na mesma ramificação.
  • Para T(\varphi \vee \psi) (disjunção verdadeira) abrimos uma bifurcação: T\varphi \mid T\psi.
  • Para T(\sim\varphi) é equivalente a F\varphi; para F(\sim\varphi) é equivalente a T\varphi.
  • Uma ramificação fecha quando ela contém uma fórmula e sua negação assinadas de forma contraditória, por exemplo T B e F B na mesma ramificação.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao conjunto inicial.

Passo 3

Montamos o tableau inicial assumindo as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Escrevemos as fórmulas assinadas:
T(A\rightarrow B)
T(\sim B\rightarrow C)
F\big((A\vee \sim C)\rightarrow B\big)
A tarefa é desenvolver esse tableau até ver se todas as ramificações fecham.

Passo 4

Aplicamos a regra para F(\varphi\rightarrow\psi) à terceira linha. Isso nos dá T(A\vee \sim C) e F B na mesma ramificação:
T(A\vee \sim C),\quad F B
Então o conjunto atual em cada ramificação conterá também T(A\rightarrow B) e T(\sim B\rightarrow C), além de T(A\vee \sim C) e F B.

Passo 5

Aplicamos a regra para T(A\vee \sim C): isso gera duas ramificações (bifurcação):
  • Ramificação I: T A
  • Ramificação II: T(\sim C), que por sua vez equivale a F C
Em ambas as ramificações carregamos também T(A\rightarrow B), T(\sim B\rightarrow C) e F B.

Passo 6

Trabalhamos a Ramificação I (onde temos T A e F B) e aplicamos a regra para T(A\rightarrow B). Essa regra bifurca em F A \mid T B.
  • Sub-ramo I.1: adiciona F A. Mas já tínhamos T A. T A e F A na mesma sub-ramificação é contradição → sub-ramo I.1 fecha.
  • Sub-ramo I.2: adiciona T B. Mas já temos F B. T B e F B é contradição → sub-ramo I.2 fecha.
Portanto toda a Ramificação I fecha.

Passo 7

Agora tratamos a Ramificação II (onde temos F C e F B e também T(A\rightarrow B) e T(\sim B\rightarrow C)). Aplicamos T(A\rightarrow B), que bifurca em F A \mid T B.
  • Sub-ramo II.1: T B. Isso contradiz F B imediatamente → sub-ramo II.1 fecha.
  • Sub-ramo II.2: F A. Ainda temos em II.2 as fórmulas F A, F B, F C, além de T(\sim B\rightarrow C).
O sub-ramo II.2 permanece aberto até aplicarmos a segunda regra condicional; vamos fazer isso agora.

Passo 8

Aplicamos T(\sim B\rightarrow C) na sub-ramificação II.2. Pela regra de condicional T(\varphi\rightarrow\psi) aplicamos F\varphi \mid T\psi. Aqui \varphi é \sim B e \psi é C. Portanto as alternativas são:
  • Opção A: F(\sim B), que equivale a T B.
  • Opção B: T C.
Aplicando essas duas opções em II.2:
  • II.2.A: adiciona T B. Mas já temos F B na mesma ramificação → contradição → fecha II.2.A.
  • II.2.B: adiciona T C. Mas já temos F C em II.2 → contradição → fecha II.2.B.
Portanto ambas as bifurcações geradas por T(\sim B\rightarrow C) fecham a sub-ramificação II.2.

Passo 9

Resumindo: Ramificação I fechou por completo (Passo 6). Na Ramificação II, todos os sub-ramos também fecharam (Passos 7–8). Não restou nenhuma ramificação aberta no tableau: todas as possibilidades assumindo as premissas verdadeiras e a conclusão falsa levam a contradição.
Em linguagem do tableau: não existe ramificação aberta que contenha um modelo (atribuição de valores) que faça as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo não existe contraexemplo.

Passo 10

Conclusão lógica do procedimento: como todo o tableau fechou, as premissas implicam a conclusão em todas as interpretações. Em outras palavras, o argumento é válido — sempre que as premissas A\rightarrow B e \sim B\rightarrow C são verdadeiras, a fórmula (A\vee \sim C)\rightarrow B também é verdadeira.

Resposta

O argumento é válido.

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