Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Passo 1
O enunciado pede para “substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação” na fórmula dada. A fórmula fornecida é
Informações relevantes que temos:
- Há uma negação externa aplicada a uma quantificação existencial
. - O predicado interno é uma negação de uma disjunção:
. - A tarefa é transformar a parte com quantificação negativa (
) em uma forma equivalente que não contenha essa quantificação negativa, usando equivalências lógicas válidas.
Passo 2
Vou apresentar as equivalências lógicas que vamos usar e explicá‑las de forma bem tranquila.
- Regra de negação de quantificadores (equivalência padrão):
O sentido: "não existe um
tal que
" é o mesmo que "para todo
, não
". Exemplo simples: “Não existe pessoa que seja imortal” é equivalente a “toda pessoa não é imortal”.
- Dupla negação:
Ou seja, negar duas vezes retorna ao original. Exemplo: “não é verdade que não chove” é a mesma coisa que “chove”.
- Leis de De Morgan para conectivos lógicos:
Exemplo: “não (A ou B)” significa “não A e não B”.
Essas são as ferramentas. Agora aplicamos passo a passo à fórmula dada.
Passo 3
Primeiro movemos a negação que está em frente ao quantificador existencial usando a regra de negação de quantificadores:
Justificativa: aplicamos a equivalência
com
.
Passo 4
Agora simplificamos a dupla negação que ficou dentro do quantificador. Pela regra da dupla negação:
Justificativa:
, aqui
é
.
Passo 5
(Verificação alternativa — opcional mas útil para aprendizado)
Podemos obter o mesmo resultado por outro caminho: primeiro aplicamos De Morgan dentro do parêntese,
Podemos obter o mesmo resultado por outro caminho: primeiro aplicamos De Morgan dentro do parêntese,
Então a fórmula original vira
Aplicando a negação do quantificador:
Aplicando De Morgan à negação do conjunção:
Chegamos ao mesmo resultado, o que confirma a transformação.
Passo 6
Conclusão: a quantificação negativa foi removida e a fórmula equivalente sem a negação externa ao quantificador é