Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
\sim \exists x \sim(0 x \vee \sim P x)

Passo 1

O enunciado pede para “substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação” na fórmula dada. A fórmula fornecida é
\sim \exists x \sim(0x \vee \sim P x).
Informações relevantes que temos:
  • Há uma negação externa aplicada a uma quantificação existencial \exists x.
  • O predicado interno é uma negação de uma disjunção: \sim(0x \vee \sim P x).
  • A tarefa é transformar a parte com quantificação negativa ( \sim \exists x \,\cdot) em uma forma equivalente que não contenha essa quantificação negativa, usando equivalências lógicas válidas.

Passo 2

Vou apresentar as equivalências lógicas que vamos usar e explicá‑las de forma bem tranquila.
  1. Regra de negação de quantificadores (equivalência padrão):
\sim \exists x\,\varphi(x)\quad\text{é logicamente equivalente a}\quad \forall x\,\sim\varphi(x).é
O sentido: "não existe um x tal que \varphi(x)" é o mesmo que "para todo x, não \varphi(x)". Exemplo simples: “Não existe pessoa que seja imortal” é equivalente a “toda pessoa não é imortal”.
  1. Dupla negação:
\sim\sim A \equiv A.
Ou seja, negar duas vezes retorna ao original. Exemplo: “não é verdade que não chove” é a mesma coisa que “chove”.
  1. Leis de De Morgan para conectivos lógicos:
\sim (A \vee B) \equiv (\sim A) \wedge (\sim B),
\sim (A \wedge B) \equiv (\sim A) \vee (\sim B).
Exemplo: “não (A ou B)” significa “não A e não B”.
Essas são as ferramentas. Agora aplicamos passo a passo à fórmula dada.

Passo 3

Primeiro movemos a negação que está em frente ao quantificador existencial usando a regra de negação de quantificadores:
\sim \exists x \sim(0x \vee \sim P x) \quad\equiv\quad \forall x \sim\sim(0x \vee \sim P x).
Justificativa: aplicamos a equivalência \sim \exists x\,\varphi(x) \equiv \forall x\,\sim\varphi(x) com \varphi(x)=\sim(0x \vee \sim P x).

Passo 4

Agora simplificamos a dupla negação que ficou dentro do quantificador. Pela regra da dupla negação:
\forall x \sim\sim(0x \vee \sim P x) \quad\equiv\quad \forall x (0x \vee \sim P x).
Justificativa: \sim\sim A \equiv A, aqui A é (0x \vee \sim P x).

Passo 5

(Verificação alternativa — opcional mas útil para aprendizado)
Podemos obter o mesmo resultado por outro caminho: primeiro aplicamos De Morgan dentro do parêntese,
\sim(0x \vee \sim P x) \equiv (\sim 0x) \wedge (\sim\sim P x) \equiv (\sim 0x) \wedge P x.
Então a fórmula original vira
\sim \exists x \big((\sim 0x)\wedge P x\big).
Aplicando a negação do quantificador:
\sim \exists x \big((\sim 0x)\wedge P x\big) \equiv \forall x \sim\big((\sim 0x)\wedge P x\big).
Aplicando De Morgan à negação do conjunção:
\forall x \big(\sim(\sim 0x)\vee \sim P x\big) \equiv \forall x (0x \vee \sim P x).
Chegamos ao mesmo resultado, o que confirma a transformação.

Passo 6

Conclusão: a quantificação negativa foi removida e a fórmula equivalente sem a negação externa ao quantificador é
\forall x (0x \vee \sim P x).

Resposta

\forall x (0x \vee \sim P x)

Exercícios relacionados