Utilize a técnica das frações parciais para calcular as integrais a seguir:
c) \int_{0}^{1} \frac{2 x+3}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\frac{2x+3}{(x+1)^{2}}\,dx
usando a técnica de frações parciais. Vamos primeiro decompor a função racional e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2x+3}{(x+1)^{2}} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}, vem
2x+3 = A(x+1) + B = Ax + A + B.
Igualando coeficientes de x e termos constantes, obtemos
A = 2, \quad A + B = 3 \;\Longrightarrow\; B = 1.
Logo
\frac{2x+3}{(x+1)^{2}} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int\frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln\bigl|x+1\bigr| + C_1, \qquad \int\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+1} + C_2.
Como em [0,1] temos x+1>0, podemos escrever sem o valor absoluto. Assim a antiderivada é
F(x) = 2\ln(x+1) - \frac{1}{x+1}.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{2x+3}{(x+1)^{2}}\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_{0}^{1} = \Bigl(2\ln2 - \tfrac12\Bigr) - \Bigl(2\ln1 - 1\Bigr) = 2\ln2 - \tfrac12 - 0 + 1 = 2\ln2 + \tfrac12.

Resposta

2\ln2 + \tfrac12

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