Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que
. Por que não podemos usar a propriedade de produto de limites nesse caso?
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Vamos precisar do fato de que
é sempre entre
e
, e do limite de
quando
.
Passo 2
Como para todo
vale
multiplicando essa desigualdade por
(que é não negativo), obtemos
Passo 3
Calculamos os limites das funções que “emolduram”
:
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, como
e ambos os limites das extremas são
, segue
Passo 5
Não podemos usar a propriedade de produto de limites aqui porque ela exige que cada fator tenha limite quando
. Embora
exista, o limite
não existe (coseno oscila indefinidamente). Como um dos limites não existe, não podemos aplicar diretamente
.
Resposta
Não se pode usar produto de limites porque
não existe.