Seja f uma função definida em \mathbb{R} e tal que f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}. Suponha também que f(x) \leq M|x-a|, onde M é um real positivo. Calcule \lim _{x \rightarrow a} f(x).

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} com duas propriedades principais:
  1. f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
  2. Existe constante M>0 tal que
f(x)\le M\,\lvert x-a\rvert
para todo x.
O que precisamos calcular é \lim_{x\to a}f(x). Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Repare que, como M é constante e \lvert x-a\rvert\to 0 quando x\to a, temos
\lim_{x\to a}M\,\lvert x-a\rvert = M\;\lim_{x\to a}\lvert x-a\rvert = M\cdot 0 = 0.

Passo 3

Como f(x)\ge 0 e simultaneamente f(x)\le M\,\lvert x-a\rvert, podemos escrever para todo x próximo de a:
0 \;\le\; f(x)\;\le\; M\,\lvert x-a\rvert.
Pelo Teorema do Confronto, esses limites das funções-limite inferior e superior são iguais a zero, logo
\lim_{x\to a}f(x)=0.

Resposta

\boxed{0}

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