a. Mostre que se as derivadas parciais necessárias dos componentes do campo \mathbf{G}=M \mathbf{i}+N \mathbf{j}+P \mathbf{k} forem contínuas, então \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{G}=0.
b. Pode-se concluir algo sobre o fluxo do campo \nabla \times \mathbf{G} através de uma superfície fechada? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade fundamental de cálculo vetorial
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{G}) = 0
sob a hipótese de que as derivadas parciais de M,N,P são contínuas. Em seguida, pergunta se podemos concluir algo sobre o fluxo de \nabla \times \mathbf{G} através de uma superfície fechada. Vamos usar a definição de rotacional e divergência e depois o Teorema da Divergência de Gauss.
Passo 2
Escrevemos em componentes o rotacional de \mathbf{G}=M\,\mathbf{i}+N\,\mathbf{j}+P\,\mathbf{k}:
Como as derivadas parciais mistas são contínuas, vale o teorema de Clairaut, isto é, \frac{\partial^2 P}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 P}{\partial y\partial x}, \frac{\partial^2 N}{\partial x\partial z}=\frac{\partial^2 N}{\partial z\partial x} e \frac{\partial^2 M}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^2 M}{\partial z\partial y}.
Cada par de termos iguais aparece com sinais opostos, de modo que a soma é zero. Logo,
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{G})=0.
Passo 4
Para a parte (b), usamos o Teorema da Divergência de Gauss, que diz que o fluxo de um campo vetorial \mathbf{F} através de uma superfície fechada S que delimita um volume V é