Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial
através da esfera
, com normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da esfera
usando o Teorema de Gauss. Isso envolve entender o que é fluxo, o que é o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) e como aplicar esses conceitos para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa uma superfície. No nosso caso, queremos saber quanto do campo
atravessa a esfera
.
Passo 3
Agora, o Teorema de Gauss diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície. Em fórmula:
Aqui,
é a divergência de
e
é o volume da esfera.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Passo 5
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Gauss. A integral da divergência sobre o volume
da esfera é:
Passo 7
Sabemos que o volume de uma esfera de raio
é:
No nosso caso, a esfera tem raio 1, então:
Passo 8
Então, a integral fica:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da esfera
é
.