Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial
F=lang<= x-2 y, z+4 y, y^2+8 z-9rang<=
através da esfera S: x^2+y^2+z^2=1, com normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial F = lang<= x - 2y, z + 4y, y^2 + 8z - 9 rang<= através da esfera S: x^2 + y^2 + z^2 = 1 usando o Teorema de Gauss. Isso envolve entender o que é fluxo, o que é o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) e como aplicar esses conceitos para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa uma superfície. No nosso caso, queremos saber quanto do campo F atravessa a esfera S.

Passo 3

Agora, o Teorema de Gauss diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície. Em fórmula:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, nabla cdot F é a divergência de F e V é o volume da esfera.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(x - 2y) + partialpartial y(z + 4y) + partialpartial z(y^2 + 8z - 9)

Passo 5

Calculando cada derivada:
partialpartial x(x - 2y) = 1
partialpartial y(z + 4y) = 4
partialpartial z(y^2 + 8z - 9) = 8
Então,
nabla cdot F = 1 + 4 + 8 = 13

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Gauss. A integral da divergência sobre o volume V da esfera é:
integral triplaV 13 , dV = 13 times Volume da esfera

Passo 7

Sabemos que o volume de uma esfera de raio r é:
V = 43pi r^3
No nosso caso, a esfera tem raio 1, então:
V = 43pi (1)^3 = 43pi

Passo 8

Então, a integral fica:
13 times 43pi = 523pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da esfera S é 523pi.

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