Uma placa metálica possui dimensões de 3 m de largura e
de comprimento, sendo cada ponto da placa designado por um par ordenado
, com
e
. A placa tem a temperatura de suas laterais
e
dada por
e
, e a temperatura das laterais
e
dada por
e
.
Determine a função
que descreve as temperaturas em todos os pontos da placa, para esse estado estacionário.
Determine a função
Passo 1
O enunciado pede a temperatura em regime estacionário numa placa retangular
, satisfazendo a equação de Laplace
com condições de contorno
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de Fourier, após fazer uma transformação que homogeniza as condições em
.
Passo 2
Escolhemos uma função particular que satisfaça as condições em
, por exemplo
pois
e
. Definimos
de modo que
e as condições em
tornam-se homogêneas:
Passo 3
As condições em
para
são
Como
é zero em
e
, expandimos-nas em senos:
Cada
satisfaz a ODE
cuja solução geral é combinação de senh:
Passo 4
Impondo
igual ao coeficiente da expansão de
e
igual ao coeficiente de
, obtemos
onde
Passo 5
Logo
e
Passo 6
Finalmente,