Uma placa metálica possui dimensões de 3 m de largura e 4 m de comprimento, sendo cada ponto da placa designado por um par ordenado (x, y), com 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 4. A placa tem a temperatura de suas laterais y=0 e y=4 dada por u(x, 0)=10 e u(x, 4)=0, e a temperatura das laterais x=0 e x=3 dada por u(0, y)=10 e u(3, y)=0.
Determine a função u(x, y) que descreve as temperaturas em todos os pontos da placa, para esse estado estacionário.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura em regime estacionário numa placa retangular 0<= x<=3,;0<= y<=4, satisfazendo a equação de Laplace
uxx+uyy=0
com condições de contorno
u(x,0)=10, u(x,4)=0, u(0,y)=10, u(3,y)=0
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de Fourier, após fazer uma transformação que homogeniza as condições em y.

Passo 2

Escolhemos uma função particular que satisfaça as condições em y, por exemplo
g(y)=10l(1- y4r),
pois g(0)=10 e g(4)=0. Definimos
h(x,y)=u(x,y)-g(y),
de modo que
hxx+hyy=0,
e as condições em y tornam-se homogêneas:
h(x,0)=u(x,0)-10=0, h(x,4)=u(x,4)-0=0

Passo 3

As condições em x para h são
h(0,y)=u(0,y)-g(y)=10-10l(1- y4r)=52y,
h(3,y)=u(3,y)-g(y)=0-10l(1- y4r)=52y-10
Como h é zero em y=0 e y=4, expandimos-nas em senos:
h(x,y)=sumn=1^inftyXn(x),sin!l(npi y/4r)
Cada Xn(x) satisfaz a ODE
Xn''(x)-l(tfracnpi4r)^2Xn(x)=0,
cuja solução geral é combinação de senh:
Xn(x)=Ansinh!l(tfracnpi x4r)+Bnsinh!l(tfracnpi(3-x)4r)

Passo 4

Impondo Xn(0) igual ao coeficiente da expansão de h(0,y) e Xn(3) igual ao coeficiente de h(3,y), obtemos
An,sinh!l(tfrac3npi4r)=cn, Bn,sinh!l(tfrac3npi4r)=bn,
onde
bn=24integral0^452y;sin!l(npi y/4r),dy =20npi(-1)^,n+1,
cn=24integral0^4l(tfrac52y-10r)sin!l(npi y/4r),dy =-20npi

Passo 5

Logo
An=-20npi,sinh(3npi/4), Bn=20(-1)^,n+1npi,sinh(3npi/4),
e
h(x,y) =sumn=1^infty 20npi,sinh(3npi/4) l[(-1)^,n+1sinh!l(tfracnpi(3-x)4r) -sinh!l(tfracnpi x4r)r] sin!l(tfracnpi y4r)

Passo 6

Finalmente,
u(x,y)=g(y)+h(x,y) =10l(1- y4r) +sumn=1^infty 20npi,sinh(3npi/4) l[(-1)^,n+1sinh!l(tfracnpi(3-x)4r) -sinh!l(tfracnpi x4r)r] sin!l(tfracnpi y4r)

Resposta

boxed u(x,y) =10l(1-tfrac y4r) +sumn=1^infty 20npi,sinh!l(tfrac3npi4r) l[(-1)^,n+1sinh!l(tfracnpi(3-x)4r) -sinh!l(tfracnpi x4r)r] sin!l(tfracnpi y4r)

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