Uma placa metálica possui dimensões de 3 m de largura e 4 m de comprimento, sendo cada ponto da placa designado por um par ordenado (x, y), com 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 4. A placa tem a temperatura de suas laterais y=0 e y=4 dada por u(x, 0)=10 e u(x, 4)=0, e a temperatura das laterais x=0 e x=3 dada por u(0, y)=10 e u(3, y)=0.
Considerando a função u(x, y) determinada no item anterior, encontre a função U(d) que indica a temperatura de cada ponto na diagonal da placa que vai do ponto (0,0) ao ponto (3,4) como função da distâneia d em relação à origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede que, dado o potencial térmico estacionário
u(x,y)
determinada no item anterior para a placa retangular com
0<= x<=3
e
0<= y<=4
e contornos
u(x,0)=10,;u(x,4)=0,;u(0,y)=10,;u(3,y)=0,
encontremos a temperatura de cada ponto ao longo da diagonal que vai de (0,0) a (3,4), expressa em função da distância d medida a partir da origem.

Passo 2

A diagonal de comprimento
raiz3^2+4^2=5
pode ser parametrizada por
x(d)=35,d, y(d)=45,d, 0<= d<= 5
Como queremos a temperatura ao longo dessa curva, basta compor
U(d)=ul(x(d),,y(d)r) =u!l(tfrac35d,;tfrac45dr)

Resposta

U(d)=u!l(tfrac35d,;tfrac45dr), 0<= d<= 5

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