Utilize o Teorema de Green para calcular a integralC F " d r (verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
F(x, y)=(x^2+4 x y, 2 x^2+2 x+y^2), C é a elipse x^2+4 y^2=16 orientado no sentido anti-horário;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralCvec Fcdot dvec r
onde vec F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=x^2+4xy, Q(x,y)=2x^2+2x+y^2,
e C é a elipse x^2+4y^2=16 orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D interna à curva.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
ointCP,dx+Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Como a orientação é anti-horário, podemos aplicar diretamente essa forma.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =4x+2, partial Ppartial y =4x

Passo 4

Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =(4x+2)-4x =2
Portanto a integral dupla fica
integral duplaD2,dA =2integral duplaDdA =2cdotArea(D)

Passo 5

A região D é a elipse tfracx^24^2+tfracy^22^2=1, com semieixos a=4 e b=2.
Area(D)=pi,a,b =picdot4cdot2 =8pi
Logo
2cdotArea(D) =2cdot8pi =16pi

Resposta

16pi

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