(4 pontos) Seja
v(t, x, y, z) um campo vetorial continuamente diferenciável sobre a região
D no espaço e seja
p(t, x, y, z) uma função escalar continuamente diferenciável. A variável
t representa o domínio do tempo. A lei de conservação da massa afirma que
dd t integral triplaD p(t, x, y, z) d V=-integral duplaS p v cdot n d sigma
onde
S é a superfície que engloba
D .
a) Use o teorema da divergência para mostrar que a lei da conservação da massa é equivalente à equação de continuidade
partial ppartial t+nabla cdot(p v)=0
b) Seja
T(t, x, y, z) uma função de classe
C^2 que dá a temperatura no instante
t no ponto (
x, y, z ) de um sólido que ocupa uma região
D no espaço. Se o vetor de fluxo de energia é
-k nabla T (aqui
k é chamada condutividade térmica), considerando a lei da conservação da massa com
v=-k nabla T e a energia calorífica por unidade de volume
c rho T=p , deduza a equação de difusão de calor
partial Tpartial t=K nabla^2 T
onde
K=k /(c rho) é a constante de difusão.