Utilize o Teorema de Green para calcular: I=\oint_{C} \frac{-x^{2} y}{1+x^{2}} d x+\arctan (x) d y, onde C é o caminho fechado formado por y=0, x=1, y=1 e x=0, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde C é o contorno fechado formado pelas retas y=0, x=1, y=1 e x=0, percorrido no sentido anti-horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função de linha está na forma P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy comP(x,y)=\frac{-x^{2}y}{1+x^{2}},\qquad Q(x,y)=\arctan(x).
O contorno C é o perímetro do quadrado unitário D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
O sentido é anti-horário (orientação positiva), condição necessária para usar diretamente o Teorema de Green.
Passo 2
Apresentar o Teorema de Green (versão planar) e explicar o que cada termo significa.
O Teorema de Green diz que, para uma região D plana simplesmente conexa com fronteira C positiva (anti-horária), e para P,Q com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de \overline{D}, vale
Agora \frac{\partial P}{\partial y}. Para P(x,y)=\dfrac{-x^{2}y}{1+x^{2}} tratamos x como constante e derivamos em relação a y; é uma multiplicação por y, então
Aqui não foi preciso usar regra do quociente porque, ao diferenciar em relação a y, o fator \dfrac{-x^{2}}{1+x^{2}} é apenas uma constante multiplicativa.
Passo 4
Montar e simplificar o integrando do lado direito do Teorema de Green.
Portanto o integrando simplifica elegantemente para 1.
Passo 5
Calcular a integral dupla sobre a região D.
Pelo Teorema de Green,
I=\iint_{D} 1\,dA.
A região D é o quadrado unitário \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}. Assim podemos avaliar como integral iterada:
I=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} 1\,dy\,dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1} 1\,dy = 1-0 = 1.
Agora a integral em x:
\int_{x=0}^{1} 1\,dx = 1-0 = 1.
Logo I=1. Geometricamente isso é óbvio também: integrar a função 1 sobre D dá a área de D, que é 1.
Passo 6
Recapitulando de forma motivadora: transformamos uma integral de linha potencialmente trabalhosa numa integral dupla simples usando o Teorema de Green; as derivadas parciais se cancelaram de forma a dar integrando igual a 1, e a integral dupla sobre o quadrado unitário é a área — muito rápido no final.