Utilize o Teorema de Green para calcular:
I=\oint_{C} \frac{-x^{2} y}{1+x^{2}} d x+\arctan (x) d y, onde C é o caminho fechado formado por y=0, x=1, y=1 e x=0, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I=\oint_{C} \frac{-x^{2} y}{1+x^{2}}\,dx+\arctan(x)\,dy,
onde C é o contorno fechado formado pelas retas y=0, x=1, y=1 e x=0, percorrido no sentido anti-horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de linha está na forma P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com P(x,y)=\frac{-x^{2}y}{1+x^{2}},\qquad Q(x,y)=\arctan(x).
  • O contorno C é o perímetro do quadrado unitário D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
  • O sentido é anti-horário (orientação positiva), condição necessária para usar diretamente o Teorema de Green.

Passo 2

Apresentar o Teorema de Green (versão planar) e explicar o que cada termo significa.
O Teorema de Green diz que, para uma região D plana simplesmente conexa com fronteira C positiva (anti-horária), e para P,Q com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de \overline{D}, vale
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando os termos:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes da forma diferencial que aparece na integral de linha. Aqui P multiplica dx e Q multiplica dy.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x, tratando y como constante.
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y, tratando x como constante.
  • \iint_{D} \cdots dA é a integral dupla sobre a região D (podemos calcular como integral iterada).
Nós podemos aplicar o Teorema de Green porque:
  • D é o quadrado fechado e simples, e
  • P e Q têm derivadas parciais contínuas em todo o quadrado (note que P tem denominador 1+x^2 que nunca é zero).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=\arctan(x) depende só de x, usa-se a derivada conhecida de \arctan:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Agora \frac{\partial P}{\partial y}. Para P(x,y)=\dfrac{-x^{2}y}{1+x^{2}} tratamos x como constante e derivamos em relação a y; é uma multiplicação por y, então
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-x^{2}}{1+x^{2}}.
Aqui não foi preciso usar regra do quociente porque, ao diferenciar em relação a y, o fator \dfrac{-x^{2}}{1+x^{2}} é apenas uma constante multiplicativa.

Passo 4

Montar e simplificar o integrando do lado direito do Teorema de Green.
Usando as derivadas calculadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{1}{1+x^{2}}-\left(\frac{-x^{2}}{1+x^{2}}\right) =\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}.
Somando as frações com mesmo denominador:
\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}=1.
Portanto o integrando simplifica elegantemente para 1.

Passo 5

Calcular a integral dupla sobre a região D.
Pelo Teorema de Green,
I=\iint_{D} 1\,dA.
A região D é o quadrado unitário \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}. Assim podemos avaliar como integral iterada:
I=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} 1\,dy\,dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1} 1\,dy = 1-0 = 1.
Agora a integral em x:
\int_{x=0}^{1} 1\,dx = 1-0 = 1.
Logo I=1. Geometricamente isso é óbvio também: integrar a função 1 sobre D dá a área de D, que é 1.

Passo 6

Recapitulando de forma motivadora: transformamos uma integral de linha potencialmente trabalhosa numa integral dupla simples usando o Teorema de Green; as derivadas parciais se cancelaram de forma a dar integrando igual a 1, e a integral dupla sobre o quadrado unitário é a área — muito rápido no final.

Resposta

1

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