Determine os seguintes limites, se existir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,-3)} \frac{4 x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2 x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(-1,-3)} \frac{4x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2x y^{2}}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função que aparece é a razão entre dois polinômios em (x,y): o numerador é 4x^{3}-x y^{2} e o denominador é y^{3}-2x y^{2}.
  • O ponto de interesse é (-1,-3).
  • Não há imagem ou informação adicional.

Passo 2

Ideia e teoria que vou usar (aula rápida e prática):
  • Em funções de duas variáveis, um limite na forma \lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y) existe e vale um certo número L se, ao aproximar (x,y) de (a,b) por qualquer caminho, F(x,y) tende sempre ao mesmo L.
  • Uma família muito útil de funções são os polinômios em (x,y). Polinômios são funções contínuas: isso significa que, para um polinômio P(x,y), vale
\lim_{(x,y)\to(a,b)} P(x,y) = P(a,b).
  • Se P(x,y) e Q(x,y) são contínuos em (a,b) e Q(a,b)\neq 0, então a quociente P/Q também é contínuo em (a,b) e
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\frac{P(a,b)}{Q(a,b)}.
  • Resultado prático: para limites de razão de polinômios, primeiro avaliar o denominador no ponto; se for diferente de zero, não há perigo de indeterminação e o limite é apenas a razão das avaliações.
Vou aplicar exatamente essa propriedade (ela simplifica muito e é perfeitamente válida aqui).

Passo 3

Calcular o numerador no ponto (-1,-3) mostrando as contas passo a passo:
O numerador é 4x^{3}-x y^{2}. Substituindo x=-1 e y=-3,
4x^{3}-x y^{2}=4(-1)^{3}-(-1)\cdot(-3)^{2}.
Agora calcular cada parte:
(-1)^{3} = -1, \qquad 4(-1)^{3} = 4\cdot(-1) = -4.
E
(-3)^{2} = 9, \qquad -(-1)\cdot 9 = (+1)\cdot 9\\ \text{com o sinal:}\\\ -(-1)\cdot 9 = -1\cdot(-1)\cdot 9 = +9?
Para evitar confusão de sinais, reescrevo mais claro:
-x y^{2} = -\bigl((-1)\bigr)\cdot\bigl((-3)^{2}\bigr) = -(-1)\cdot 9 = (+1)\cdot 9 = 9.
Somando as parcelas:
4(-1)^{3}-(-1)\cdot(-3)^{2} = -4 + 9 = 5.
Portanto o numerador avaliado no ponto vale 5.

Passo 4

Calcular o denominador no ponto (-1,-3) com cuidado com os sinais:
O denominador é y^{3}-2x y^{2}. Substituindo x=-1 e y=-3,
y^{3}-2x y^{2}=(-3)^{3}-2\cdot(-1)\cdot(-3)^{2}.
Calcular as potências:
(-3)^{3} = -27, \qquad (-3)^{2} = 9.
Agora a parte com produto:
2\cdot(-1)\cdot 9 = -18.
Então
y^{3}-2x y^{2} = -27 - (-18).
Cuidado com o sinal: -2x y^{2} = -2\cdot(-1)\cdot9 = +18, mas aqui a expressão é y^{3}-2x y^{2}. Usando a forma direta:
y^{3}-2x y^{2} = -27 - ( -18 ) = -27 + 18 = -9.
Ambas as formas de raciocínio chegam ao mesmo resultado: o denominador avaliado no ponto é -9, que é diferente de zero.

Passo 5

Aplicação do teorema da continuidade do quociente:
  • Já vimos que tanto numerador quanto denominador são polinômios (portanto contínuos).
  • Como y^{3}-2x y^{2}\big|_{(-1,-3)} = -9 \neq 0, a razão é contínua no ponto.
    Logo
\lim_{(x,y)\to(-1,-3)} \frac{4x^{3}-x y^{2}}{y^{3}-2x y^{2}} = \frac{\,\bigl(4x^{3}-x y^{2}\bigr)\big|_{(-1,-3)}}{\,\bigl(y^{3}-2x y^{2}\bigr)\big|_{(-1,-3)}} = \frac{5}{-9}.

Passo 6

Simplificação final e interpretação:
\frac{5}{-9} = -\frac{5}{9}.
Interpretação prática: não houve indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}; como o denominador é diferente de zero no ponto, o limite é simplesmente o valor da função naquele ponto (função é contínua ali). Isso é o caminho mais rápido na prova: sempre verificar se o denominador anula no ponto — se não anula, substituição direta resolve.

Resposta

-\frac{5}{9}

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