A função que aparece é a razão entre dois polinômios em (x,y): o numerador é 4x^{3}-x y^{2} e o denominador é y^{3}-2x y^{2}.
O ponto de interesse é (-1,-3).
Não há imagem ou informação adicional.
Passo 2
Ideia e teoria que vou usar (aula rápida e prática):
Em funções de duas variáveis, um limite na forma \lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y) existe e vale um certo número L se, ao aproximar (x,y) de (a,b) por qualquer caminho, F(x,y) tende sempre ao mesmo L.
Uma família muito útil de funções são os polinômios em (x,y). Polinômios são funções contínuas: isso significa que, para um polinômio P(x,y), vale
\lim_{(x,y)\to(a,b)} P(x,y) = P(a,b).
Se P(x,y) e Q(x,y) são contínuos em (a,b) e Q(a,b)\neq 0, então a quociente P/Q também é contínuo em (a,b) e
Resultado prático: para limites de razão de polinômios, primeiro avaliar o denominador no ponto; se for diferente de zero, não há perigo de indeterminação e o limite é apenas a razão das avaliações.
Vou aplicar exatamente essa propriedade (ela simplifica muito e é perfeitamente válida aqui).
Passo 3
Calcular o numerador no ponto (-1,-3) mostrando as contas passo a passo:
O numerador é 4x^{3}-x y^{2}. Substituindo x=-1 e y=-3,
Interpretação prática: não houve indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}; como o denominador é diferente de zero no ponto, o limite é simplesmente o valor da função naquele ponto (função é contínua ali). Isso é o caminho mais rápido na prova: sempre verificar se o denominador anula no ponto — se não anula, substituição direta resolve.