Determine os seguintes limites, se existir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,-2)} \frac{16 x^{3}-4 x y^{2}}{10 x y^{2}-5 y^{3}-9 y+18 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se o limite
\lim_{(x,y)\to(-1,-2)} \frac{16x^{3}-4x y^{2}}{10x y^{2}-5y^{3}-9y+18x}.
  • Informação útil: o ponto de interesse é (x,y)=(-1,-2).
  • Vamos verificar primeiro a substituição direta para ver se a expressão está já definida ali ou se dá uma forma indeterminada.

Passo 2

Substituição direta e reconhecimento de forma indeterminada.
Calcular o numerador em (x,y)=(-1,-2):
16x^{3}-4x y^{2}\Big|_{(-1,-2)} = 16(-1)^{3}-4(-1)(-2)^{2}=16(-1)-4(-1)\cdot4=-16+16=0.
Calcular o denominador em (x,y)=(-1,-2):
10x y^{2}-5y^{3}-9y+18x\Big|_{(-1,-2)}=10(-1)\cdot4-5(-8)-9(-2)+18(-1)=-40+40+18-18=0.
Como ambos são zero, a expressão toma a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que é preciso simplificar algébrica ou analiticamente a expressão antes de concluir o limite.

Passo 3

Fatorar o numerador passo a passo (técnica: fator comum e diferença de quadrados).
Começamos extraindo o fator comum 4x:
16x^{3}-4x y^{2}=4x\big(4x^{2}-y^{2}\big).
Reconhecemos \;4x^{2}-y^{2} como uma diferença de quadrados, porque 4x^{2}=(2x)^{2}. Então
4x^{2}-y^{2}=(2x-y)(2x+y).
Portanto o numerador fatorado é
16x^{3}-4x y^{2}=4x(2x-y)(2x+y).
Explicação curta da técnica usada: fator comum reduz o grau e facilita ver estruturas. Diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) vale também quando a e b dependem de variáveis (aqui a=2x,\\ b=y).

Passo 4

Fatorar o denominador passo a passo (técnica: fatoração por agrupamento).
Escrevemos o denominador e agrupamos termos com x e com y:
10x y^{2}-5y^{3}-9y+18x = \big(10x y^{2}+18x\big)-\big(5y^{3}+9y\big).
Agora fatoramos x do primeiro grupo e y do segundo:
= x(10y^{2}+18)-y(5y^{2}+9).
Observando que 10y^{2}+18=2(5y^{2}+9), obtemos
= 2x(5y^{2}+9)-y(5y^{2}+9).
Fator comum (5y^{2}+9):
10x y^{2}-5y^{3}-9y+18x = (5y^{2}+9)(2x-y).
Técnica explicada: agrupamento consiste em agrupar termos que compartilham fatores semelhantes, fatorar em cada grupo e depois extrair o fator comum entre os grupos.

Passo 5

Cancelamento do fator comum e justificativa (removendo a indeterminação).
Agora temos
\frac{16x^{3}-4x y^{2}}{10x y^{2}-5y^{3}-9y+18x} = \frac{4x(2x-y)(2x+y)}{(5y^{2}+9)(2x-y)}.
Podemos cancelar o fator (2x-y) desde que trabalhemos em pontos onde esse fator não seja zero. A expressão original está indefinida exatamente quando o denominador é zero. Note que
5y^{2}+9>0\quad\text{para todo }y,
pois 5y^{2}\ge 0 e 5y^{2}+9\ge 9. Portanto o denominador só anula quando 2x-y=0. Assim o domínio da função original perto de (-1,-2) é o conjunto de pontos próximos a (-1,-2) que não satisfazem 2x-y=0.
Depois do cancelamento obtemos a função simplificada válida em todo ponto onde a original está definida:
F(x,y)=\frac{4x(2x+y)}{5y^{2}+9}.
Justificativa do passo limite: para provar que o limite existe em (-1,-2) basta ver que em todo vizinho removido de (-1,-2) (isto é, retirando a linha 2x-y=0 onde a função é indefinida) a função original coincide com F(x,y). Como F é uma função racional com denominador estritamente positivo, F é contínua em todo ponto, inclusive em (-1,-2). Portanto o limite da função original quando (x,y)\to(-1,-2) (com pontos do domínio) é igual ao valor de F em (-1,-2). Em linguagem mais técnica, a singularidade era “removível” e foi removida ao simplificar.

Passo 6

Calcular o valor de F em (-1,-2) (continuidade e avaliação final).
Avaliar numerador e denominador de F em (x,y)=(-1,-2):
Calcular 4x(2x+y) em (-1,-2):
4x(2x+y)\Big|_{(-1,-2)} = 4(-1)\big(2(-1)+(-2)\big)= -4(-2-2)= -4(-4)=16.
Calcular 5y^{2}+9 em (-1,-2):
5y^{2}+9\Big|_{(-1,-2)}=5\cdot(-2)^{2}+9=5\cdot4+9=20+9=29.
Logo
F(-1,-2)=\frac{16}{29}.

Passo 7

Conclusão — existência do limite e valor final.
Como explicado, a simplificação levou a uma função contínua em (-1,-2), portanto o limite existe e é igual ao valor calculado:
\lim_{(x,y)\to(-1,-2)} \frac{16x^{3}-4x y^{2}}{10x y^{2}-5y^{3}-9y+18x}=\frac{16}{29}.

Resposta

\dfrac{16}{29}

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