Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, onde
, onde
é a porção do paraboloide
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
para o campo
onde
é a porção do paraboloide
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície
é o trecho do paraboloide entre (vértice) e . - A interseção do paraboloide com o plano
é a curva de contorno . Para encontrar essa curva basta resolver , que é uma elipse. - Não há outro contorno (o vértice em
é um ponto isolado e não contribui como curva fechada).
O que devemos entregar: o valor numérico (exato) da integral de superfície indicada.
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes, que diz (em palavras simples): a integral da circulação do campo rotacional sobre a superfície é igual à integral de linha do campo ao longo da fronteira da superfície. Em fórmula:
Explicando os símbolos:
-
é o rotacional (curl) de , um vetor. -
é o vetor normal unitário à superfície . -
é a curva fronteira de com orientação consistente com (regra da mão direita). -
é o vetor tangente infinitesimal ao longo da curva .
Escolha de orientação: escolho a normal
com componente positiva em
(normal “para cima”), pois isso é natural para a porção superior do paraboloide. Pela regra da mão direita, isso induz uma orientação da fronteira
no sentido anti-horário vista de cima. Vou parametrizar a fronteira de modo que esse sentido seja o sentido de percorre
crescente.
Passo 3
Determinar explicitamente
. A interseção com
satisfaz
Multiplicando por
obtemos
que é uma elipse com semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
) no plano
.
Parametrização natural, seguindo sentido anti-horário visto de cima, é
Então
Passo 4
Avaliar
ao longo de
. Substituindo
,
,
em
:
Simplificando as duas primeiras componentes (a terceira não será necessária porque
):
Agora o produto escalar
(note que a componente em
não contribui porque
):
Portanto
Passo 5
Calcular a integral de linha:
Usando as identidades básicas
, obtemos
Somando,
Passo 6
Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície desejada é igual à integral de linha que calculamos. Assim