(2,0 pts) Prove que se \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência convergente, com x_{n} \leq b, então \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} x_{n} \leq b. Mostre por meio de um contra-exemplo que, mesmo que x_{n}<b, nāo é verdade, em geral, que \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} x_{n}<b.
Sugestão: Suponha por absurdo que \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} x_{n}>b e como x_{n} converge, mostre que a partir de um certo índice, x_{n}>b.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
Dado que \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} é uma sequência convergente e que, para todo n, vale x_{n}\le b.
Pedem para provar que \operatorname{Lim}_{n\to\infty} x_{n}\le b.
Pedem também um contra-exemplo que mostre que, mesmo se x_{n}<b para todo n, não é verdade em geral que \operatorname{Lim}_{n\to\infty} x_{n}<b.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A sequência converge, ou seja, existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty} x_n = L.
A desigualdade x_n\le b vale para todos os índices n.
É preciso provar a desigualdade entre o limite L e o número b, e depois dar um exemplo que mostra que a desigualdade estrita pode falhar.
Passo 2
Vamos provar a afirmação principal por contradição — essa é a sugestão do enunciado e é a maneira natural aqui.
Estratégia (sem computar ainda): suponha, para obter contradição, que o limite L:=\lim_{n\to\infty} x_n satisfaça L>b. Como a sequência converge para L, os termos x_n ficam arbitrariamente próximos de L quando n é grande. Em particular, escolhendo uma proximidade adequada, deveremos obter que a partir de certo índice todos os x_n sejam maiores que b, o que contradiz a hipótese x_n\le b para todo n. Agora vamos formalizar isso passo a passo.
Passo 3
Recordando a definição precisa de convergência que vamos usar (aquela do \varepsilon-N):
Dizemos que \lim_{n\to\infty} x_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |x_n-L|<\varepsilon.
Suponha, para fins de contradição, que
L>b.
Defina
\varepsilon := L-b.
Note que \varepsilon>0 pela hipótese L>b.
Passo 4
Pela definição de convergência aplicada a essa \varepsilon, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n-L|<\varepsilon.
A desigualdade absoluta se traduz em duas desigualdades simples:
-\varepsilon < x_n - L < \varepsilon.
Da parte esquerda obtemos
x_n > L - \varepsilon.
Mas como \varepsilon = L-b, temos
L - \varepsilon = L - (L-b) = b.
Portanto, para todo n\ge N,
x_n > b.
Passo 5
Chegamos a uma contradição: a hipótese inicial afirmava que x_n\le b para todo n, mas derivamos que, a partir de n\ge N, x_n>b. Logo a suposição L>b é impossível. Concluímos que necessariamente
\lim_{n\to\infty} x_n \le b.
Isso prova a primeira parte do enunciado.
Passo 6
Agora o contra-exemplo que mostra que a versão estrita não vale em geral. Vou construir uma sequência que satisfaz x_n<b para todo n mas cujo limite é exatamente b (logo não é menor que b).
Considere a sequência definida por
x_n := b - \frac{1}{n}\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Verificações:
Para todo n tem-se x_n = b - 1/n < b. Assim, a hipótese x_n<b é satisfeita.
Mostramos agora que \lim_{n\to\infty} x_n = b.
Demonstração do limite: seja \varepsilon>0 qualquer. Pelo arquimediano, existe N\in\mathbb{N} tal que 1/N<\varepsilon. Então para todo n\ge N temos 1/n \le 1/N<\varepsilon. Assim, para n\ge N,
Pela definição de convergência, isso mostra \lim_{n\to\infty} x_n = b.
Portanto a sequência x_n=b-1/n é um contra-exemplo: todos os termos são estritamente menores que b, mas o limite é b. Assim, não se pode afirmar, em geral, que \lim_{n\to\infty} x_n < b mesmo quando x_n<b para todo n.
Passo 7
Resumo final e recado amigo: provamos rigorosamente que o limite não ultrapassa o supremum uniforme b quando todos os termos satisfazem x_n\le b. Mas cuidado — a desigualdade estrita não se propaga para o limite: termos menores que b podem se aproximar de b e ter limite igual a b. Isso é bastante comum em análise; não desanima, é só um detalhe importante para a prova.
Resposta
\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n \le b
Contra-exemplo: x_n=b-\dfrac{1}{n} satisfaz x_n<b para todo n e \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = b, logo não é verdade em geral que \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n < b.