(1,5 pts) Sejam X, Y \subset \mathbb{R}. Prove que \overline{X \cup Y}=\overline{X \cup Y} e que \overline{X \cap Y} \subset \overline{X \cap} \bar{Y}. No caso da interseção, por exemplo, se X=[0,1) e Y=(1,2], então \overline{X \cap Y}=\emptyset ao passo que \bar{X} \cap \bar{Y}=\{1\}, mostrando que a inclusão é estrita.

Passo 1

O enunciado dá que X,Y\subset\mathbb{R} e pede duas coisas:
  • Provar que \overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.
  • Provar que \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}, e mostrar que essa inclusão pode ser estrita (o enunciado já sugere o exemplo X=[0,1), Y=(1,2]).
As informações relevantes: são conjuntos quaisquer em \mathbb{R}; a barra denota fecho (closure). Não se começa a resolver aqui, apenas listamos o que se pede e o que temos.

Passo 2

Definição útil e interpretação intuitiva (essencial para a prova).
  • Definição de fecho: para um conjunto A\subset\mathbb{R}, dizemos que x\in\overline{A} se e somente se, para todo \varepsilon>0, o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) intersecta A; ou seja,
x\in\overline{A}\quad\Longleftrightarrow\quad\forall\varepsilon>0,\\ (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A\neq\varnothing.
Interpretação: x está no fecho de A quando qualquer vizinhança de x toca A — ou x está em A ou é um ponto de acumulação de A.
Vou usar essa definição para todas as provas abaixo. É uma forma direta e operacional: trabalhar com \varepsilon-vizinhanças.

Passo 3

Provar a inclusão \overline{X}\cup\overline{Y}\subset\overline{X\cup Y} (direção fácil, monotonicidade do fecho).
  • Observação: se A\subset B então \overline{A}\subset\overline{B}. Prova curta: se x\in\overline{A} então toda vizinhança de x intersecta A; como A\subset B, a mesma vizinhança intersecta B; logo x\in\overline{B}.
  • Aplicando com A=X e B=X\cup Y obtemos \overline{X}\subset\overline{X\cup Y}. Analogamente \overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.
  • Daí \overline{X}\cup\overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.

Passo 4

Provar a outra inclusão \overline{X\cup Y}\subset\overline{X}\cup\overline{Y}.
  • Tome x\in\overline{X\cup Y}. Queremos mostrar x\in\overline{X} ou x\in\overline{Y}.
  • Procedimento por contradição: suponha x\notin\overline{X} e x\notin\overline{Y}. Pelas definições, existem \varepsilon_X>0 e \varepsilon_Y>0 tais que
(x-\varepsilon_X,x+\varepsilon_X)\cap X=\varnothing \qquad\text{e}\qquad (x-\varepsilon_Y,x+\varepsilon_Y)\cap Y=\varnothing.
  • Tome \varepsilon=\min\{\varepsilon_X,\varepsilon_Y\}. Então (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não intersecta nem X nem Y, logo não intersecta X\cup Y. Isso contradiz x\in\overline{X\cup Y}, que exige que toda vizinhança de x intersecte X\cup Y.
  • Logo a suposição é falsa: não é possível que x esteja fora dos dois fechos. Portanto x\in\overline{X} ou x\in\overline{Y}. Assim
\overline{X\cup Y}\subset\overline{X}\cup\overline{Y}.

Passo 5

Conclusão para a união.
  • Unindo as duas inclusões do Passo 3 e do Passo 4 obtemos a igualdade desejada:
\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.

Passo 6

Provar \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.
  • Tome x\in\overline{X\cap Y}. Pela definição de fecho, para todo \varepsilon>0 temos
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap (X\cap Y)\neq\varnothing.
  • Então, para todo \varepsilon>0 a mesma vizinhança intersecta X (porque X\cap Y\subset X) e intersecta Y. Logo x\in\overline{X} e x\in\overline{Y}.
  • Portanto x\in\overline{X}\cap\overline{Y}. Como a escolha de x foi arbitrária,
\overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}.

Passo 7

Mostrar que a inclusão para interseção pode ser estrita com o exemplo dado.
  • Considere X=[0,1) e Y=(1,2] (isto foi sugerido no enunciado; peguei esses conjuntos conforme pedido).
  • Primeiro X\cap Y=\varnothing pois não existe ponto em comum (um contém 1 como ponto de borda à direita fechado? não: 1\notin X; o outro tem 1 à esquerda aberto? não: 1\notin Y). Logo
\overline{X\cap Y}=\overline{\varnothing}=\varnothing.
  • Agora calcule \overline{X} e \overline{Y}:
    • \overline{X}=[0,1], porque 1 é ponto de acumulação de X=[0,1) (qualquer vizinhança de 1 contém pontos de X menores que 1).
    • \overline{Y}=[1,2], porque 1 é ponto de acumulação de Y=(1,2] (qualquer vizinhança de 1 contém pontos de Y maiores que 1).
  • Assim
\overline{X}\cap\overline{Y}=[0,1]\cap[1,2]=\{1\}.
  • Conclusão: \overline{X\cap Y}=\varnothing enquanto \overline{X}\cap\overline{Y}=\{1\}, mostrando que a inclusão do Passo 6 pode ser estrita.

Resposta

\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}
\overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}

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