(1,5 pts) Sejam X, Y \subset \mathbb{R}. Prove que \overline{X \cup Y}=\overline{X \cup Y} e que \overline{X \cap Y} \subset \overline{X \cap} \bar{Y}. No caso da interseção, por exemplo, se X=[0,1) e Y=(1,2], então \overline{X \cap Y}=\emptyset ao passo que \bar{X} \cap \bar{Y}=\{1\}, mostrando que a inclusão é estrita.
Passo 1
O enunciado dá que X,Y\subset\mathbb{R} e pede duas coisas:
Provar que \overline{X\cup Y}=\overline{X}\cup\overline{Y}.
Provar que \overline{X\cap Y}\subset\overline{X}\cap\overline{Y}, e mostrar que essa inclusão pode ser estrita (o enunciado já sugere o exemplo X=[0,1), Y=(1,2]).
As informações relevantes: são conjuntos quaisquer em \mathbb{R}; a barra denota fecho (closure). Não se começa a resolver aqui, apenas listamos o que se pede e o que temos.
Passo 2
Definição útil e interpretação intuitiva (essencial para a prova).
Definição de fecho: para um conjunto A\subset\mathbb{R}, dizemos que x\in\overline{A} se e somente se, para todo \varepsilon>0, o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) intersecta A; ou seja,
Interpretação: x está no fecho de A quando qualquer vizinhança de x toca A — ou x está em A ou é um ponto de acumulação de A.
Vou usar essa definição para todas as provas abaixo. É uma forma direta e operacional: trabalhar com \varepsilon-vizinhanças.
Passo 3
Provar a inclusão \overline{X}\cup\overline{Y}\subset\overline{X\cup Y} (direção fácil, monotonicidade do fecho).
Observação: se A\subset B então \overline{A}\subset\overline{B}. Prova curta: se x\in\overline{A} então toda vizinhança de x intersecta A; como A\subset B, a mesma vizinhança intersecta B; logo x\in\overline{B}.
Aplicando com A=X e B=X\cup Y obtemos \overline{X}\subset\overline{X\cup Y}. Analogamente \overline{Y}\subset\overline{X\cup Y}.
Tome \varepsilon=\min\{\varepsilon_X,\varepsilon_Y\}. Então (x-\varepsilon,x+\varepsilon) não intersecta nem X nem Y, logo não intersecta X\cup Y. Isso contradiz x\in\overline{X\cup Y}, que exige que toda vizinhança de x intersecte X\cup Y.
Logo a suposição é falsa: não é possível que x esteja fora dos dois fechos. Portanto x\in\overline{X} ou x\in\overline{Y}. Assim
Mostrar que a inclusão para interseção pode ser estrita com o exemplo dado.
Considere X=[0,1) e Y=(1,2] (isto foi sugerido no enunciado; peguei esses conjuntos conforme pedido).
Primeiro X\cap Y=\varnothing pois não existe ponto em comum (um contém 1 como ponto de borda à direita fechado? não: 1\notin X; o outro tem 1 à esquerda aberto? não: 1\notin Y). Logo