Utilize o Teorema da Transformada da Convolução para calcular:
L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)^{2}}\} \right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}\bigl(s^{2}+1\bigr)^{2}}\Bigr\}
usando o Teorema da Convolução. O conteúdo é a teoria da transformada de Laplace e do Teorema da Convolução, que diz que, se
F(s)=G(s)\,H(s),
então
L^{-1}\{F(s)\}=(g*h)(t)=\int_{0}^{t}g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,
onde g=L^{-1}\{G\} e h=L^{-1}\{H\}.

Passo 2

Separamos
\frac{1}{s^{2}\,(s^{2}+1)^{2}} =\frac{1}{s^{2}}\;\cdot\;\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}.
Temos
g(t)=L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}}\Bigr\}=t,
pois L\{t\}=1/s^{2}, e
h(t)=L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\}.
Para achar h(t), lembramos fórmulas conhecidas:
L\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}, \quad L\{t\cos t\}=\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}},
L\{t\sin t\}=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Buscamos combinar para obter 1/(s^{2}+1)^{2}. Uma combinação que funciona é
h(t) =\frac12\,\sin t\;-\;\frac12\,t\cos t,
pois
L\{h(t)\} =\frac12\frac{1}{s^{2}+1} -\frac12\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Aplicando Convolução,
f(t) =L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\} =(g*h)(t) =\int_{0}^{t} \tau\;\Bigl[\tfrac12\sin(t-\tau)-\tfrac12\,(t-\tau)\cos(t-\tau)\Bigr]d\tau.
Escrevemos
f(t)=\tfrac12\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr),
onde
I_{1}=\int_{0}^{t}\tau\,\sin(t-\tau)\,d\tau, \quad I_{2}=\int_{0}^{t}\tau\,(t-\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau.

Passo 4

Calculamos
I_{1} =\int_{0}^{t}\tau\,\sin(t-\tau)\,d\tau.
Fazendo a mudança de variável v=t-\tau, chega-se a
I_{1} =t\int_{0}^{t}\sin v\,dv-\int_{0}^{t}v\sin v\,dv =t\bigl[1-\cos t\bigr] -\bigl[-v\cos v+\sin v\bigr]_{0}^{t} =t-\sin t.

Passo 5

Agora
I_{2} =\int_{0}^{t}\tau\,(t-\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau.
Com a mesma troca v=t-\tau, obtém-se
I_{2} =\int_{0}^{t}(t-v)\,v\cos v\,dv =t\!\int_{0}^{t}v\cos v\,dv -\int_{0}^{t}v^{2}\cos v\,dv.
Chamando
J_{1}=\int_{0}^{t}v\cos v\,dv =[v\sin v+\cos v]_{0}^{t} =t\sin t+\cos t-1,
J_{2}=\int_{0}^{t}v^{2}\cos v\,dv =t^{2}\sin t-2\!\int_{0}^{t}v\sin v\,dv =t^{2}\sin t+2t\cos t-2\sin t,
segue
I_{2} =t\,J_{1}-J_{2} =-t\cos t -t +2\sin t.

Passo 6

Substituindo em f(t)=\tfrac12(I_{1}-I_{2}):
f(t) =\tfrac12\Bigl[(t-\sin t)-\bigl(-t\cos t -t+2\sin t\bigr)\Bigr] =t+\tfrac{t\cos t}{2}-\tfrac{3\sin t}{2}.

Resposta

\boxed{\,L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\} =t+\frac{t\cos t}{2}-\frac{3\sin t}{2}\,.}

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