Questão 04
Analise a situação a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{\ln x}}
A partir da análise da situação acima, considere as seguintes afirmações:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo +\infty.
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
I, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
II, apenas.
III, apenas.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{\frac{1}{\ln x}}
que é um limite de tipo exponencial. Para resolvê-lo vamos precisar reconhecer o tipo de indeterminação e usar a transformação com logaritmo, seguida do Teorema de Cauchy (que fundamenta a Regra de L’Hôpital para razões de funções).

Passo 2

Identificamos o tipo de indeterminação observando a base e o expoente conforme x\to+\infty:
- A base x^{2}+1\to+\infty.
- O expoente \tfrac{1}{\ln x}\to0^{+}.
Portanto temos uma forma \infty^{0}, não (+\infty). Logo a afirmação I é falsa.

Passo 3

Para tratar \infty^{0}, definimos
y = \bigl(x^{2}+1\bigr)^{\frac1{\ln x}}
e tomamos logaritmo natural:
\ln y = \frac{\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{\ln x}\,.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln y
vemos que é uma indeterminação \tfrac{\infty}{\infty}. Aplicando o Teorema de Cauchy (via Regra de L’Hôpital) obtemos:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{\ln x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2x}{x^{2}+1}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{x^{2}+1}\cdot x =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}}{x^{2}+1} =2.
Então \ln y\to2, logo y\to e^{2}. Isso mostra que a afirmação III é falsa.

Passo 5

Resumindo:
– I é falsa (a indeterminação é \infty^{0}, não “ +\infty”).
– II é verdadeira (utilizamos o Teorema de Cauchy para resolver a indeterminação da razão de logaritmos).
– III é falsa (o limite converge para e^{2}, não para 1).

Resposta

II, apenas.

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