Questão 04
Analise a situação a seguir:
A partir da análise da situação acima, considere as seguintes afirmações:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo
.
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
I, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
II, apenas.
III, apenas.
Analise a situação a seguir:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
Passo 1
O enunciado pede
que é um limite de tipo exponencial. Para resolvê-lo vamos precisar reconhecer o tipo de indeterminação e usar a transformação com logaritmo, seguida do Teorema de Cauchy (que fundamenta a Regra de L’Hôpital para razões de funções).
Passo 2
Identificamos o tipo de indeterminação observando a base e o expoente conforme
:
- A base .
- O expoente .
Portanto temos uma forma , não
. Logo a afirmação I é falsa.
- A base
- O expoente
Portanto temos uma forma
Passo 3
Para tratar
, definimos
e tomamos logaritmo natural:
Passo 4
Para calcular
vemos que é uma indeterminação . Aplicando o Teorema de Cauchy (via Regra de L’Hôpital) obtemos:
vemos que é uma indeterminação
Então
, logo
. Isso mostra que a afirmação III é falsa.
Passo 5
Resumindo:
– I é falsa (a indeterminação é , não “
”).
– II é verdadeira (utilizamos o Teorema de Cauchy para resolver a indeterminação da razão de logaritmos).
– III é falsa (o limite converge para , não para
).
– I é falsa (a indeterminação é
– II é verdadeira (utilizamos o Teorema de Cauchy para resolver a indeterminação da razão de logaritmos).
– III é falsa (o limite converge para
Resposta
II, apenas.