Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função
g(x)=x^3-8 x^2+x+1
possui pelo menos uma raiz no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário e mostrar que a função g(x)=x^{3} − 8x^{2} + x + 1 tem pelo menos uma raiz em [0,1]. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário e vamos precisar da continuidade de g e de uma mudança de sinal nos extremos.

Passo 2

Como g(x)=x{3}−8x{2}+x+1 é um polinômio, sabemos que todo polinômio é contínuo em ℝ. Logo, g é contínua em [0,1], atendendo ao requisito de continuidade do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Vamos calcular g(0):
g(0)=0^3-8cdot0^2+0+1=1

Passo 4

Agora calculamos g(1):
g(1)=1^3-8cdot1^2+1+1=1-8+1+1=-5

Passo 5

Observamos que g(0)=1>0 e g(1)=-5<0, ou seja, g muda de sinal ao longo de [0,1].

Passo 6

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua em [a,b] toma valores de sinais opostos em a e b, então existe c em (a,b) tal que f©=0. Aqui, com a=0 e b=1, concluímos que existe pelo menos um c em (0,1) com g©=0.

Resposta

A função g(x)=x{3}-8x{2}+x+1 possui pelo menos uma raiz no intervalo [0,1] pelo Teorema do Valor Intermediário.

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