Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário e mostrar que a função g(x)=x^{3} − 8x^{2} + x + 1 tem pelo menos uma raiz em [0,1]. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário e vamos precisar da continuidade de g e de uma mudança de sinal nos extremos.
Passo 2
Como g(x)=x{3}−8x{2}+x+1 é um polinômio, sabemos que todo polinômio é contínuo em ℝ. Logo, g é contínua em [0,1], atendendo ao requisito de continuidade do Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Vamos calcular g(0):
Passo 4
Agora calculamos g(1):
Passo 5
Observamos que g(0)=1>0 e g(1)=-5<0, ou seja, g muda de sinal ao longo de [0,1].
Passo 6
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua em [a,b] toma valores de sinais opostos em a e b, então existe c em (a,b) tal que f©=0. Aqui, com a=0 e b=1, concluímos que existe pelo menos um c em (0,1) com g©=0.
Resposta
A função g(x)=x{3}-8x{2}+x+1 possui pelo menos uma raiz no intervalo [0,1] pelo Teorema do Valor Intermediário.