Exercício 0.8 Quer se construir uma piscina de forma cilíndrica, com volume igual a
. Determine os valores do raio e da profundidade (altura) da piscina, de modo que a piscina possa ser construída com a menor quantidade de material possivel.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: queremos construir uma piscina cilíndrica aberta no topo, com volume
, de modo a usar a menor quantidade de material possível. O que precisamos usar aqui é otimização de funções (derivadas) junto com as fórmulas de volume e área de um cilindro.
Passo 2
Volume e área da piscina: como não há tampa, a superfície a ser construída é a base mais a lateral. Sabendo que
e
vamos usar o volume fixo para eliminar uma das variáveis.
Passo 3
Expressão de
em função de
: da restrição de volume temos
Passo 4
Função de área em uma variável: substituindo
em
obtemos
Passo 5
Derivada e ponto crítico: derivando em relação a
,
Igualando a zero para achar o mínimo,
Passo 6
Verificação de mínimo: calculamos a segunda derivada
Em
vale
confirmando mínimo.
Passo 7
Cálculo da profundidade: voltando na expressão de
,
Resposta
Raio
e profundidade (altura)
.