Exercício 0.8 Quer se construir uma piscina de forma cilíndrica, com volume igual a 125 pi m^3. Determine os valores do raio e da profundidade (altura) da piscina, de modo que a piscina possa ser construída com a menor quantidade de material possivel.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: queremos construir uma piscina cilíndrica aberta no topo, com volume 125pi m^3, de modo a usar a menor quantidade de material possível. O que precisamos usar aqui é otimização de funções (derivadas) junto com as fórmulas de volume e área de um cilindro.

Passo 2

Volume e área da piscina: como não há tampa, a superfície a ser construída é a base mais a lateral. Sabendo que
V=pi r^2h
e
A=pi r^2 + 2pi r h
vamos usar o volume fixo para eliminar uma das variáveis.

Passo 3

Expressão de h em função de r: da restrição de volume temos
h=Vpi r^2=125pipi r^2=125r^2

Passo 4

Função de área em uma variável: substituindo h=125/r^2 em A obtemos
A(r)=pi r^2 + 2pi rcdot125r^2=pi r^2+250pir

Passo 5

Derivada e ponto crítico: derivando em relação a r,
A'(r)=2pi r-250pi1r^2
Igualando a zero para achar o mínimo,
2pi r=250pir^2implies 2r^3=250implies r^3=125implies r=5,(m)

Passo 6

Verificação de mínimo: calculamos a segunda derivada
A''(r)=2pi+500pi1r^3
Em r=5 vale
A''(5)=2pi+500pi125=2pi+4pi=6pi>0,
confirmando mínimo.

Passo 7

Cálculo da profundidade: voltando na expressão de h,
h=1255^2=5,(m)

Resposta

Raio r=5,m e profundidade (altura) h=5,m.

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