Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
Passo 1
No enunciado temos a EDO. O tipo é equação de Euler–Cauchy e vamos usar: 1) solução da homogênea via chute ; 2) solução particular pelo método de variação de parâmetros (MVP).
Passo 2
Para a parte homogênea, assumimos . Substituindo em obtemos a equação característica
que simplifica para
Com raízes e , a solução geral homogênea é
Passo 3
Para usar MVP, primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo tudo por :
Passo 4
As soluções fundamentais são e . Calculamos o Wronskiano:
Passo 5
Pelas fórmulas de MVP, definimos
u1' = -y2,g(x)W, u2' = y1,g(x)W,
Passo 6
onde g(x)=xln(x). Então
u1' = -x^2cdot(xln x)x^2 = -xln x,
Passo 7
u2' = xcdot(xln x)x^2 = ln x
Passo 8
Integramos para achar u1 e u2:
u1 = integral -xln x,dx = -x^22ln x + x^24,
Passo 9
u2 = integral ln x,dx = xln x - x
Passo 10
A solução particular é
yp = u1y1 + u2y2 = (-x^22ln x + x^24)x + (xln x - x)x^2