Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^3 ln (x)

Passo 1

No enunciado temos a EDO x^2y'' - 2x y' + 2y = x^3ln(x). O tipo é equação de Euler–Cauchy e vamos usar: 1) solução da homogênea via chute y=x^r; 2) solução particular pelo método de variação de parâmetros (MVP).

Passo 2

Para a parte homogênea, assumimos y=x^r. Substituindo em x^2y'' - 2x y' + 2y = 0 obtemos a equação característica
r(r-1) - 2r + 2 = 0
que simplifica para
r^2 - 3r + 2 = 0
Com raízes r=1 e r=2, a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 x + C2 x^2

Passo 3

Para usar MVP, primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo tudo por x^2:
y'' - 2xy' + 2x^2y = xln(x)

Passo 4

As soluções fundamentais são y1=x e y2=x^2. Calculamos o Wronskiano:
W = x & x^2 1 & 2x = xcdot2x - x^2cdot1 = x^2

Passo 5

Pelas fórmulas de MVP, definimos
u1' = -y2,g(x)W, u2' = y1,g(x)W,

Passo 6

onde g(x)=xln(x). Então
u1' = -x^2cdot(xln x)x^2 = -xln x,

Passo 7

u2' = xcdot(xln x)x^2 = ln x

Passo 8

Integramos para achar u1 e u2:
u1 = integral -xln x,dx = -x^22ln x + x^24,

Passo 9

u2 = integral ln x,dx = xln x - x

Passo 10

A solução particular é
yp = u1y1 + u2y2 = (-x^22ln x + x^24)x + (xln x - x)x^2

Passo 11

Simplificando, obtemos
yp = 12 x^3ln x - 34x^3

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C1 x + C2 x^2 + 12x^3ln x - 34x^3

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