Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para usar a teoria das Equações Lineares de Coeficientes Variáveis (CE) e o Método da Variação de Parâmetros (MVP) para achar a solução geral da EDO:
Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes que não são constantes e aplicar o MVP para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por $ x $ (assumindo que $ x \neq 0 $):
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem na forma padrão:
Neste caso, $ P(x) = \frac{1}{x} $, $ Q(x) = 0 $ e $ R(x) = 1 $.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, onde $ R(x) = 0 $:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, podemos usar a redução de ordem. Vamos assumir que uma solução é $ y_1 = C $, uma constante.
Derivando $ y_1 $:
Substituindo na equação homogênea:
Isso confirma que $ y_1 = C $ é uma solução. Agora, para encontrar a segunda solução $ y_2 $, usamos a fórmula para equações com coeficientes variados:
Substituindo $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ y_1 = 1 $:
Portanto, a segunda solução é:
Passo 4
Agora, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Vamos agora encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa:
Usando o Método da Variação de Parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original e resolvendo para $ u_1 $ e $ u_2 $, chegamos a um sistema que simplifica para encontrar $ u_1 $ e $ u_2 $. Após resolver, encontramos que a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, combinando a solução geral da homogênea $ y_h $ com a solução particular $ y_p $, obtemos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: