Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
x y^prime prime-4 y^prime=x^4

Passo 1

Nesse exercício temos a EDO não homogênea de segunda ordem
x,y''-4y'=x^4
O conteúdo é a teoria das equações de Cauchy–Euler (CE) para achar a solução homogênea e o Método de Variação de Parâmetros (MVP) para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Para usar a forma de Euler, primeiro dividimos toda a equação por x (assumindo xneq0) e organizamos em forma padrão:
y''-4xy'=x^3
Assim identificamos p(x)=-tfrac4x, q(x)=0 e r(x)=x^3.

Passo 3

Agora resolvemos a equação homogênea
y''-4xy'=0
que pode ser reduzida definindo v=y'. Então
v'-4xv=0impliesv'v=4ximplies v=C1x^4
Logo
y'=C1x^4implies yh=C1x^55+C2
Podemos reescrever as soluções independentes como y1=x^5 e y2=1.

Passo 4

Para aplicar MVP, calculamos o wronskiano de y1 e y2:
W=x^5&15x^4&0=-5x^4
A fórmula de variação de parâmetros dá a solução particular
yp=-y1integraly2,r(x)Wdx+y2integraly1,r(x)Wdx
com r(x)=x^3.

Passo 5

Substituindo na fórmula de MVP temos:
-y1integral1cdot x^3-5x^4dx+y2integralx^5cdot x^3-5x^4dx
Calculemos cada integral:
  1. integralx^3-5x^4dx=integral-tfrac15x^-1dx=-tfrac15ln|x|+K1
  2. integralx^8-5x^4dx=integral-tfrac15x^4dx=-tfrac15cdotx^55+K2=-tfracx^525+K2.

Passo 6

Então
yp=-x^5l(-tfrac15ln|x|r)+1cdotl(-tfracx^525r)=x^55ln|x| - x^525
Logo a solução geral é
y=yh+yp=C1x^55+C2+x^55ln|x|-x^525
Podemos incorporar constants e simplificar.

Passo 7

Reescrevendo com constantes gerais e recolocando a forma habitual, obtemos
y=C1x^5+C2+15x^5ln|x|

Resposta

y=C1x^5+C2+tfrac15x^5ln|x|

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