Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
Passo 1
Nesse exercício temos a EDO não homogênea de segunda ordem
O conteúdo é a teoria das equações de Cauchy–Euler (CE) para achar a solução homogênea e o Método de Variação de Parâmetros (MVP) para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Para usar a forma de Euler, primeiro dividimos toda a equação por (assumindo ) e organizamos em forma padrão:
Assim identificamos , e .
Passo 3
Agora resolvemos a equação homogênea
que pode ser reduzida definindo . Então
Logo
Podemos reescrever as soluções independentes como e .
Passo 4
Para aplicar MVP, calculamos o wronskiano de e :
A fórmula de variação de parâmetros dá a solução particular