Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
2 x^2 y^prime prime+5 x y^prime+y=x^2-x

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdos necessários: Temos a EDO de Cauchy–Euler
2x^2y''+5xy'+y=x^2-x
que é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea. Para resolvê-la, vamos usar dois ingredientes: 1) teoria das equações de Cauchy–Euler para encontrar a solução geral da parte homogênea, e 2) método de variação de parâmetros (MVP) para obter uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Equação homogênea e raiz característica: Primeiro escrevemos a EDO homogênea
2x^2y''+5xy'+y=0
e fazemos a troca de variável característica y=x^r. Substituindo,
2x^2l(r(r-1)x^r-2r)+5xl(rx^r-1r)+x^r=0
o que leva a
2r(r-1)+5r+1=0
ou
2r^2+3r+1=0
Resolvendo, temos
r=-3pm14implies r1=-tfrac12,,r2=-1

Passo 3

Solução geral homogênea: Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é
yh(x)=C1x^-1/2+C2x^-1
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Padronização e aplicação do MVP: Dividimos a EDO original por 2x^2 para obter coeficiente de y'' igual a 1:
y''+52xy'+12x^2y=x^2-x2x^2=12-12x=:g(x)
Chamamos de y1=x^-1/2 e y2=x^-1 as soluções da homogênea. No MVP, buscamos
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
com as condições
u1'y1+u2'y2=0, u1'y1'+u2'y2'=g(x)
O Wronskiano é
W=y1&y2y1'&y2'=-tfrac12x^-5/2
As fórmulas do MVP ficam
u1'=-y2,g(x)W, u2'=y1,g(x)W

Passo 5

Cálculo de u1 e u2: Substituindo y1,y2,g,W:
y2g= x^-1l(tfrac12-tfrac12xr)=tfrac12x-tfrac12x^2, u1'= -12x-12x^2-tfrac12x^-5/2=(x^3/2-x^1/2),
u1=integral(x^3/2-x^1/2),dx=25x^5/2-23x^3/2
y1g= x^-1/2l(tfrac12-tfrac12xr)=tfracx^2-x2x^-5/2, u2'= -l(x^2-xr),
u2=integral(-x^2+x),dx=-x^33+x^22

Passo 6

Construção de yp e solução geral: Agora
yp=u1y1+u2y2=igl(tfrac25x^5/2-tfrac23x^3/2r)x^-1/2+igl(-tfracx^33+tfracx^22r)x^-1 
Simplificando,
yp=x^215-x6
Logo, a solução geral da EDO completa é

Passo 7

final_answer":“y(x)=C_{1}x{-1/2}+C_{2}x{-1}+\frac{x^{2}}{15}-\frac{x}{6}”} }
**Nota:** o campo `solution_steps` contém os passos, e `final_answer` traz a resposta final.  

Passo 8

final_answer

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