Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdos necessários: Temos a EDO de Cauchy–Euler
que é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea. Para resolvê-la, vamos usar dois ingredientes: 1) teoria das equações de Cauchy–Euler para encontrar a solução geral da parte homogênea, e 2) método de variação de parâmetros (MVP) para obter uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Equação homogênea e raiz característica: Primeiro escrevemos a EDO homogênea
e fazemos a troca de variável característica . Substituindo,
o que leva a
ou
Resolvendo, temos
Passo 3
Solução geral homogênea: Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Padronização e aplicação do MVP: Dividimos a EDO original por para obter coeficiente de igual a 1:
Chamamos de e as soluções da homogênea. No MVP, buscamos