Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral à série
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos. Para isso, vamos associar à série a função
e verificar as condições de aplicação (positividade, continuidade e monotonicidade) em
.
Passo 2
Verificação das condições do teste da integral:
- Positividade: para todo
, . - Continuidade:
é contínua em pois é potência de com expoente real. - Monotonicidade decrescente:
logo
é decrescente em
.
Passo 3
Calcular a integral imprópria associada:
Uma primitivá de
é
Passo 4
Avaliar o limite da primitiva no infinito:
Como
quando
, a integral diverge (é infinita).
Passo 5
Pelo teste da integral, se a integral associada diverge então a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.