Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. Certifique-se que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{0,7}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral à série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{0,7}}
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos. Para isso, vamos associar à série a função
f(x)=\frac{1}{x^{0,7}}
e verificar as condições de aplicação (positividade, continuidade e monotonicidade) em [1,\infty).

Passo 2

Verificação das condições do teste da integral:
  1. Positividade: para todo x\ge1, f(x)=x^{-0,7}>0.
  2. Continuidade: f(x)=x^{-0,7} é contínua em [1,\infty) pois é potência de x com expoente real.
  3. Monotonicidade decrescente:
f'(x) = -0,7\,x^{-1,7} < 0\quad\text{para }x>0,
logo f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Calcular a integral imprópria associada:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{0,7}}\,dx =\int_{1}^{\infty}x^{-0,7}\,dx.
Uma primitivá de x^{-0,7} é
\frac{x^{0,3}}{0,3}.

Passo 4

Avaliar o limite da primitiva no infinito:
\int_{1}^{\infty}x^{-0,7}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[\frac{x^{0,3}}{0,3}\right]_{1}^{R} =\lim_{R\to\infty}\Bigl(\tfrac{R^{0,3}}{0,3}-\tfrac{1^{0,3}}{0,3}\Bigr).
Como R^{0,3}\to\infty quando R\to\infty, a integral diverge (é infinita).

Passo 5

Pelo teste da integral, se a integral associada diverge então a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{0,7} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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