Utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^{2}-n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o teste da comparação, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^{2}-n}
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e vamos comparar com a série harmônica \sum 1/n, que sabemos divergir.

Passo 2

Para n\ge2 temos n+2>n e
n^2 - n < n^2,
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\frac{n+2}{\,n^2 - n\,} \;>\;\frac{n}{\,n^2\,} \;=\;\frac1n.

Passo 3

Como \sum_{n=2}^{\infty} \frac1n é a série harmônica sem o primeiro termo, ela diverge. Pelo teste da comparação direta, a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+2}{n^{2}-n}
também diverge. Incluir ou excluir um número finito de termos (aqui n=1) não altera a divergência.

Resposta

A série diverge.

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