Utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da comparação na série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,3^{n}}.
Para isso, vamos comparar a_{n}=\frac{1}{n\,3^{n}} com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1, vale
0 < \frac{1}{n\,3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}},
pois em n\ge1 temos \frac{1}{n}\le1. Logo, a_{n}\le b_{n} com b_{n}=\frac{1}{3^{n}}.

Passo 3

Sabemos que a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}
converge, pois sua razão é r=\tfrac{1}{3} e \lvert r\rvert<1. De fato,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Pelo teste da comparação, se 0\le a_{n}\le b_{n} e \sum b_{n} converge, então também converge \sum a_{n}. Aqui a_{n}=\tfrac{1}{n\,3^{n}} e b_{n}=\tfrac{1}{3^{n}}, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,3^{n}}
converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,3^{n}} converge pelo teste da comparação.

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