Utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}-1}
usando o teste da comparação. O conteúdo que vamos usar é o fato de que a série do tipo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
é convergente só se p>1 (série p-série) e, caso contrário, diverge.

Passo 2

Repare que o primeiro termo, para n=1, é \tfrac{1}{\sqrt{1}-1}=\tfrac{1}{0}, que é indefinido (infinito). Logo, já temos que a série não pode convergir. Porém, como remover ou alterar um número finito de termos não muda a convergência de uma série, vamos analisar o comportamento da “cauda” a partir de n=2.

Passo 3

Para n\ge2 temos
\sqrt{n}-1<\sqrt{n},
portanto
\frac{1}{\sqrt{n}-1}>\frac{1}{\sqrt{n}}.
Definimos
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{1/2}}.

Passo 4

Como sabemos que
\sum_{n=2}^{\infty}b_n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}
é uma p-série com p=\tfrac12\le1, ela diverge. E, pelo teste da comparação direta, tendo a_n=\tfrac{1}{\sqrt{n}-1}\ge b_n>0 para todo n\ge2, segue que
\sum_{n=2}^{\infty}a_n
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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