Determine a convergência ou divergência utilizado qualquer método. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)
converge ou diverge, usando qualquer método. O conteúdo envolvido é séries telescópicas e comportamento de somas parciais. Para resolver, vamos calcular a soma parcial S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\ln\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr) e analisar seu limite quando N\to\infty.

Passo 2

Observe que cada termo da soma parcial pode ser escrito como diferença de logaritmos:
\ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr) =\ln(n)-\ln(n+1).
Logo, ao somar de n=1 até n=N, muitos termos se cancelam (soma telescópica).

Passo 3

Escrevendo explicitamente a soma parcial:
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n)-\ln(n+1)\bigr] =\bigl[\ln(1)-\ln(2)\bigr] +\bigl[\ln(2)-\ln(3)\bigr] +\cdots +\bigl[\ln(N)-\ln(N+1)\bigr].
Note que \ln(2), \ln(3), ···, \ln(N) aparecem uma vez com sinal positivo e outra vez com sinal negativo, cancelando-se. Sobram apenas:
S_{N}=\ln(1)-\ln(N+1)=-\ln(N+1),
pois \ln(1)=0.

Passo 4

Para estudar a convergência da série, examinamos o limite da soma parcial:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\bigl[-\ln(N+1)\bigr] =-\infty.
Como o limite das somas parciais não é finito (vai a -\infty), a série não converge para um número real.

Resposta

A série diverge (mais especificamente, o somatório tende a -\infty).

Exercícios relacionados