Determine a convergência ou divergência utilizado qualquer método. Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série numérica
converge ou diverge, usando qualquer método. O conteúdo envolvido é séries telescópicas e comportamento de somas parciais. Para resolver, vamos calcular a soma parcial
e analisar seu limite quando
.
Passo 2
Observe que cada termo da soma parcial pode ser escrito como diferença de logaritmos:
Logo, ao somar de
até
, muitos termos se cancelam (soma telescópica).
Passo 3
Escrevendo explicitamente a soma parcial:
Note que
,
, ···,
aparecem uma vez com sinal positivo e outra vez com sinal negativo, cancelando-se. Sobram apenas:
pois
.
Passo 4
Para estudar a convergência da série, examinamos o limite da soma parcial:
Como o limite das somas parciais não é finito (vai a
), a série não converge para um número real.
Resposta
A série diverge (mais especificamente, o somatório tende a
).