Use os diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 10 cm de diâmetro e 14 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede que usemos o diferencial para estimar o volume de estanho necessário para fabricar uma lata cilíndrica fechada de diâmetro \,10\text{ cm} e altura \,14\text{ cm}, sabendo que a espessura da folha de estanho é \,0{,}04\text{ cm}. O conteúdo envolvido é a relação entre o volume e a espessura fina de um corpo, aproximada por
\Delta V \approx S \,\Delta t,
onde S é a área de superfície externa do cilindro e \Delta t é a espessura.

Passo 2

Calculamos a área de superfície externa S de um cilindro fechado com raio r e altura h. Primeiro obtemos o raio a partir do diâmetro:
r = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}, \quad h = 14\text{ cm}.
A área de superfície de um cilindro fechado é
S = 2\pi r^2 + 2\pi r h.

Passo 3

Substituindo r=5\text{ cm} e h=14\text{ cm} em S, temos
S = 2\pi (5)^2 + 2\pi (5)(14) = 2\pi\cdot25 + 2\pi\cdot70 = 50\pi + 140\pi = 190\pi\\ (\text{cm}^2).

Passo 4

Agora multiplicamos a área pela espessura \Delta t = 0{,}04\text{ cm}:
\Delta V \approx S\,\Delta t = 190\pi \times 0{,}04 = 7{,}6\pi\\ (\text{cm}^3).
Em valor numérico,
7{,}6\pi \approx 7{,}6 \times 3{,}1416 \approx 23{,}9\\ (\text{cm}^3).

Resposta

A quantidade de estanho é aproximadamente \,7{,}6\pi\text{ cm}^3 (ou cerca de 23{,}9\text{ cm}^3).

Exercícios relacionados