Utilize o Teste da Divergência para verificar o comportamento das séries abaixo. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Divergência à série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}.
No Teste da Divergência calculamos o limite do termo geral \displaystyle a_n=\frac{\ln(n)}{n} quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos avaliar
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}.
Como \ln(n) cresce muito mais lentamente que n, podemos usar L’Hôpital ou recordar que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0.

Passo 3

O Teste da Divergência afirma que, se \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, então a série diverge.
Aqui obtivemos \lim_{n\to\infty}a_n=0, logo o teste não permite concluir nem convergência nem divergência.

Resposta

O Teste da Divergência é inconclusivo, pois \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0.

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