Verifique a convergência das séries alternadas abaixo com o Teste da Série Alternada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
usando o Teste da Série Alternada (Críterio de Leibniz). Para isso vamos definir
e mostrar que (i)
, (ii)
é decrescente e (iii)
.
Passo 2
Verificamos o limite de
. Como o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador, temos
Passo 3
Mostramos que
é decrescente para
. Considere a função
Calculando a derivada,
Como
,
é decrescente em
, logo
.
Passo 4
Pelo Teste da Série Alternada (Leibniz), como
é positiva, decrescente e tende a zero, a série
converge.
Passo 5
Podemos ainda concluir que a convergência é absoluta. Note que, para todo
,
Como
é convergente
-série com
, pelo Teste da Comparação a série
converge. Dessa forma a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge) pelo Teste da Série Alternada e pelo Teste da Comparação com a
-série de ordem
.