Verifique a convergência das séries alternadas abaixo com o Teste da Série Alternada.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+2 n+2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+2n+2}
usando o Teste da Série Alternada (Críterio de Leibniz). Para isso vamos definir
b_{n} = \frac{1}{n^{2}+2n+2}
e mostrar que (i) b_{n}>0, (ii) \{b_{n}\} é decrescente e (iii) \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.

Passo 2

Verificamos o limite de b_{n}. Como o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador, temos
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+2} = 0.

Passo 3

Mostramos que b_{n} é decrescente para n\ge1. Considere a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+2},\quad x\ge1.
Calculando a derivada,
f'(x) = -\frac{2x+2}{(x^{2}+2x+2)^{2}} <0 \quad\text{para todo }x\ge1.
Como f'(x)<0, f é decrescente em [1,\infty), logo b_{n+1}<b_{n}.

Passo 4

Pelo Teste da Série Alternada (Leibniz), como \{b_{n}\} é positiva, decrescente e tende a zero, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}
converge.

Passo 5

Podemos ainda concluir que a convergência é absoluta. Note que, para todo n\ge1,
b_{n} = \frac{1}{n^{2}+2n+2} < \frac{1}{n^{2}}.
Como \sum 1/n^{2} é convergente p-série com p=2>1, pelo Teste da Comparação a série \sum b_{n} converge. Dessa forma a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge) pelo Teste da Série Alternada e pelo Teste da Comparação com a p-série de ordem 2.

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