Determine se as séries a seguir convergem ou divergem utilizando o Teste da Comparação. Para a comparação, utilize uma série-p ou uma série geométrica conveniente, justificando a sua escolha.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2^{n}+3}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2^{n}+3}
usando o Teste da Comparação. O conteúdo principal é reconhecimento de séries geométricas como comparação.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1,
2^{n}+3 > 2^{n},
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0 < \frac{5}{2^{n}+3} < \frac{5}{2^{n}}.
Definimos a série comparativa
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}, \quad b_{n} = \frac{5}{2^{n}}.

Passo 3

A série \sum b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{5}{2^{n}} é geométrica de primeiro termo b_{1}=5/2 e razão r=1/2. Como |r|<1, temos convergência e
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \frac{b_{1}}{1-r} = \frac{\tfrac{5}{2}}{1-\tfrac12} =5.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação Direta, como
0 < \frac{5}{2^{n}+3} < b_{n}
para todo n e \sum b_{n} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2^{n}+3}
também converge.

Resposta

A série converge.

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