Utilize o Teste da Razão para determinar se cada série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{n 3^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{n\,3^{n-1}}
usando o Teste da Razão, que afirma que se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \frac{2^{n+1}}{n\,3^{n-1}}
e calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+2}}{(n+1)\,3^n}}{\frac{2^{n+1}}{n\,3^{n-1}}} = \frac{2^{n+2}\,n\,3^{n-1}}{(n+1)\,3^n\,2^{n+1}} = \frac{2n}{3(n+1)}.

Passo 3

Tomamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{3(n+1)} = \frac{2}{3}.
Como 2/3<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge por aplicação do Teste da Razão.

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