Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
sumn=1^infty sin ((n+1 / 2) pi)1+raizn

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Série Alternada na série . Vamos identificar o conteúdo: é um caso de série alternada, em que precisamos escrever o termo geral como , verificar que , que é decrescente a partir de algum e que .

Passo 2

Observamos que an=(-1)^n1+raizn . Assim o termo geral fica
Logo podemos tomar , que é positivo.

Passo 3

Para aplicar o teste, vemos que satisfaz:
  • para todo .
  • quando , pois o denominador cresce sem limite.
  • é decrescente, já que à medida que aumenta, cresce, aumentando o denominador e diminuindo .
    Portanto todas as condições do Teste da Série Alternada (de Leibniz) estão atendidas.

Passo 4

Concluímos que a série converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada. Nenhuma convergência absoluta ocorre, pois diverge como uma p-série com .

Resposta

A série converge (condicionalmente) pelo Teste da Série Alternada.

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