Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Série Alternada na série
. Vamos identificar o conteúdo: é um caso de série alternada, em que precisamos escrever o termo geral como
, verificar que
, que
é decrescente a partir de algum
e que
.
Passo 2
Observamos que
. Assim o termo geral fica
Logo podemos tomar
, que é positivo.
Passo 3
Para aplicar o teste, vemos que
satisfaz:
-
para todo . -
quando , pois o denominador cresce sem limite. -
é decrescente, já que à medida que aumenta, cresce, aumentando o denominador e diminuindo .
Portanto todas as condições do Teste da Série Alternada (de Leibniz) estão atendidas.
Passo 4
Concluímos que a série converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada. Nenhuma convergência absoluta ocorre, pois
diverge como uma p-série com
.
Resposta
A série converge (condicionalmente) pelo Teste da Série Alternada.