Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(x-2) sen(x)+x^2 tg(x)+sen(x) cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função

Este problema envolve regra do produto e as derivadas básicas: f(x)=(x-2)sin(x)+x^2tg(x)+sin(x)cos(x), ddxsin(x)=cos(x) e .

Passo 2

Seja f1(x)=(x-2)sin(x). Pela regra do produto:
ddxf1(x)=ddx(x-2)cdotsin(x)+(x-2)cdotddxsin(x)
Como ddx(x-2)=1 e ddxsin(x)=cos(x), temos
f1'(x)=1cdotsin(x)+(x-2)cos(x)=sin(x)+(x-2)cos(x)

Passo 3

Seja . Aplicando regra do produto:
Como f2(x)=x^2tg(x) e , resulta

Passo 4

Seja f3(x)=sin(x)cos(x). Novamente, regra do produto:
ddxf3(x)=ddxsin(x)cdotcos(x)+sin(x)cdotddxcos(x)
Substituindo ddxsin(x)=cos(x) e ddxcos(x)=-sin(x):
f3'(x)=cos(x)cos(x)+sin(x)(-sin(x))=cos^2(x)-sin^2(x)

Passo 5

Somando as derivadas parciais f'=f1'+f2'+f3', obtemos

Resposta

f’(x)=\sin(x)+(x-2)\cos(x)+2x\tg(x)+x{2}\sec{2}(x)+\cos{2}(x)-\sin{2}(x)

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