Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
Passo 1
Resumindo: temos a série
e vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que exige verificar: (i) os termos
são positivos; (ii)
é decrescente; (iii)
.
Passo 2
Verificação da positividade e do limite: para todo
,
. Além disso, usando o comportamento assintótico, temos
Logo,
tende a zero.
Passo 3
Verificação de que
é decrescente: considere a função
Calculando a derivada,
Para
, temos
, logo
. Assim, para
, a sequência
é decrescente.
Passo 4
Aplicando o Teste da Série Alternada: como
,
decrescente (a partir de
) e
, concluímos que a série alternada converge. Entretanto, a série dos valores absolutos
é comparável a
(série p com
) que diverge, então a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.