Utilize o Teste da Série Alternada para decidir quanto a convergência ou divergência de cada série abaixo.
sumn=1^infty(-1)^n raizn2 n+3

Passo 1

Resumindo: temos a série e vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que exige verificar: (i) os termos são positivos; (ii) é decrescente; (iii) .

Passo 2

Verificação da positividade e do limite: para todo limntoinftyraizn2n+3 = limntoinfty12raizn+tfrac3raizn =0 , . Além disso, usando o comportamento assintótico, temos
Logo, tende a zero.

Passo 3

Verificação de que f(x)=raizx2x+3 é decrescente: considere a função
f'(x)=(2x+3)12raizx - raizxcdot2(2x+3)^2 =3-2x2raizx(2x+3)^2
Calculando a derivada,
Para , temos , logo . Assim, para , a sequência é decrescente.

Passo 4

Aplicando o Teste da Série Alternada: como sumn=1^inftyraizn2n+3 , decrescente (a partir de ) e , concluímos que a série alternada converge. Entretanto, a série dos valores absolutos
é comparável a (série p com ) que diverge, então a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.

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