Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{2021} \frac{1}{s} d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2021}\frac{1}{s}\,ds
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Segundo o TFC, se F é uma antiderivada de f em [a,b], então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Aqui temos f(s)=1/s e a=1, b=2021.

Passo 2

Precisamos encontrar uma função F(s) tal que F'(s)=1/s. Sabemos pela teoria de derivadas de logaritmo que
\frac{d}{ds}\bigl(\ln|s|\bigr)=\frac{1}{s}.
Como s varia de 1 a 2021 (positivos), podemos usar diretamente F(s)=\ln(s) como antiderivada.

Passo 3

Aplicando o TFC, temos
\int_{1}^{2021}\frac{1}{s}\,ds = F(2021)-F(1) = \ln(2021) - \ln(1).

Passo 4

Como \ln(1)=0, a expressão fica
\ln(2021) - 0 = \ln(2021).

Resposta

\int_{1}^{2021}\frac{1}{s}\,ds = \ln(2021).

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