Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{2} \frac{1+x}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral
\int_{1}^{2}\frac{1+x}{x^{3}}\,dx.
O conteúdo aqui é decompor a função em potências de x, achar uma primitiva e depois aplicar o TFC.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando escrevendo-o como soma de potências:
\frac{1+x}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} = x^{-3} + x^{-2}.

Passo 3

Agora, achamos uma primitiva F(x) de x^{-3}+x^{-2}:
F(x) =\int\bigl(x^{-3}+x^{-2}\bigr)\,dx =\frac{x^{-2}}{-2}+\frac{x^{-1}}{-1} =-\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{x}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{2}\frac{1+x}{x^{3}}\,dx =F(2)-F(1).
Calculando:
F(2)=-\frac{1}{2\cdot2^{2}}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{8},
F(1)=-\frac{1}{2\cdot1^{2}}-\frac{1}{1} =-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}.
Logo,
F(2)-F(1) =-\frac{5}{8}-\Bigl(-\frac{3}{2}\Bigr) =-\frac{5}{8}+\frac{3}{2} =\frac{-5+12}{8} =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

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