Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para isso, precisamos encontrar uma antiderivada F(x) de
\tfrac{1}{\sqrt{x}}, ou seja, uma função cuja derivada seja \tfrac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em forma de potência:
\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\tfrac12}.
Sabendo que uma antiderivada de x^{m} é \tfrac{x^{m+1}}{m+1} para m\neq -1, aqui com m=-\tfrac12 obtemos
F(x) \;=\; \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} \;=\; \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} \;=\; 2\,x^{\tfrac12} \;=\; 2\sqrt{x}.

Passo 3

Aplicando o TFC,
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = F(4) - F(1) = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2\cdot 2 - 2\cdot 1 = 4 - 2 = 2.

Resposta

2

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