Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} t \, dt
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica, e vamos precisar encontrar uma primitiva (antiderivada) de \operatorname{sen} t.

Passo 2

Para achar a primitiva de \operatorname{sen} t, lembramos que a derivada de \cos t é -\operatorname{sen} t. Logo, uma primitiva de \operatorname{sen} t é
F(t) = -\cos t,
pois
F'(t) = -\bigl(-\operatorname{sen} t\bigr) = \operatorname{sen} t.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de a até b de uma função f é dada por
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b) - F(a),
onde F é qualquer primitiva de f. Aqui a = \frac{\pi}{4}, b = \frac{\pi}{3} e F(t) = -\cos t.

Passo 4

Aplicando os limites em F(t):
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} t \, dt = \Bigl[-\cos t\Bigr]_{t=\frac{\pi}{4}}^{t=\frac{\pi}{3}} = \bigl(-\cos\!\tfrac{\pi}{3}\bigr) \;-\;\bigl(-\cos\!\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Calculando cada cosseno: \cos\!\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2} e \cos\!\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo,
-\,\cos\!\tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{1}{2}, \quad -\,\cos\!\tfrac{\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2},
portanto
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} t \, dt = \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}.

Resposta

\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} t \, dt = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}.

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