Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}{2}\left(t{2}+3 t-1\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Vamos precisar encontrar uma primitiva F(t) de f(t)=t^{2}+3t-1 e depois avaliar F(2)-F(0).

Passo 2

Para achar a primitiva, integramos cada termo de f(t):
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3},\quad \int 3t\,dt = \frac{3\,t^{2}}{2},\quad \int (-1)\,dt = -\,t.
Somando, uma antiderivada é
F(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3\,t^{2}}{2} - t.

Passo 3

Agora aplicamos o TFC:
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt = F(2) - F(0).
Calculando
F(2) = \frac{2^{3}}{3} + \frac{3\cdot 2^{2}}{2} - 2 = \frac{8}{3} + \frac{3\cdot4}{2} - 2 = \frac{8}{3} + 6 - 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8 + 12}{3} = \frac{20}{3},
e
F(0) = \frac{0}{3} + 0 - 0 = 0.

Passo 4

Portanto,
\int_{0}^{2}\bigl(t^{2}+3t-1\bigr)\,dt = \frac{20}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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