Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{2} 2^{z} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}2^{z}\,dz
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para isso, precisamos encontrar uma primitiva de 2^{z} e depois avaliar nos limites de z=0 a z=2.

Passo 2

Sabemos que a função a^{z} (com a>0, a\neq1) tem como primitiva
\int a^{z}\,dz = \frac{a^{z}}{\ln(a)} + C.
No nosso caso, a=2, logo uma primitiva de 2^{z} é
\frac{2^{z}}{\ln(2)}.

Passo 3

Pelo TFC, avaliamos a primitiva nos limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2}2^{z}\,dz = \left[\frac{2^{z}}{\ln(2)}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{\ln(2)} - \frac{2^{0}}{\ln(2)} = \frac{4 - 1}{\ln(2)} = \frac{3}{\ln(2)}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{\ln(2)}

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