Nas equações abaixo, determine os traços, as seções, identifique a superfície quádrica e esboce seu gráfico:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: determinar os traços, as seções, identificar a superfície quádrica e esboçar o gráfico. Vou listar claramente o que cada pedido significa (sem resolver ainda):
- Traços: interseções da superfície com os planos coordenados
, e . - Seções: interseções com planos paralelos aos planos coordenados, isto é, com planos do tipo
, e (para constantes ). - Identificar a superfície quádrica: dizer qual é o tipo (esfera, elipsoide, paraboloide etc.), centro e raio.
- Esboçar o gráfico: indicar como desenhar/visualizar a superfície no espaço 3D.
Passo 2
O que significa calcular um traço e uma seção — rápida explicação didática:
- Traço na reta/superfície de um plano é simplesmente pegar o plano (por exemplo
) e substituir na equação da superfície; a curva resultante no plano é o traço. - Seção por um plano paralelo a um plano coordenado (por exemplo
) se faz do mesmo jeito: substituir na equação e analisar a curva obtida no plano .
Essas interseções costumam ser circunferências, retas ou vazias — aqui vamos ver circunferências e pontos.
Passo 3
Traço com o plano
. Substituo
em
e obtenho
Interpretação: o traço com o plano
é a circunferência unitária no plano
(centro
quando vista nesse plano).
Passo 4
Traço com o plano
. Substituo
:
Interpretação: o traço com o plano
é a circunferência unitária no plano
.
Passo 5
Traço com o plano
. Substituo
:
Interpretação: o traço com o plano
é a circunferência unitária no plano
.
Passo 6
Seções por planos horizontais
. Substituo
na equação:
Agora analiso os casos possíveis:
- Se
: , a seção é uma circunferência de raio situada no plano . - Se
: , a seção é apenas um ponto (polo) no plano . - Se
: , não há interseção (seção vazia).
Exemplo numérico: paraa seção é , ou seja, circunferência de raio .
Passo 7
Seções por planos verticais
ou
. Mesma ideia:
- Para
:
Idem interpretação: se
é uma circunferência (no plano
) de raio
; se
é um ponto; se
não há interseção.
- Para
:
mesma conclusão.
Passo 8
Interessante geral: interseção com qualquer plano. Regra útil (conceito importante para a prova):
- Seja uma esfera de raio
e centro . A interseção com um plano é, em geral, uma circunferência cujo raio depende da distância do centro ao plano : o raio da circunferência é quando . Se a interseção é um ponto (plano tangente); se não existe interseção.
No nosso casoe , então para um plano com distância da origem a seção terá raio .
Passo 9
Identificação da superfície quádrica. A equação já tem a forma padrão de uma esfera centrada na origem:
comparando com a forma geral
vemos que
e
. Portanto a superfície é uma esfera de centro
e raio
.
Passo 10
Propriedades geométricas úteis para entender o esboço:
- Polos (ponto mais alto e mais baixo):
e . - Equador (interseção com
): circunferência . - Simetria: a esfera é totalmente simétrica nas três coordenadas (permuta de
deixa a equação inalterada). - Em qualquer plano que passe pela origem a interseção é uma circunferência de raio
(chamada de grande círculo).
Passo 11
Como esboçar a esfera passo a passo (truques práticos para a prova, sem precisar desenhar em 3D complicado):
- Desenhe os eixos
, no plano da folha formando o plano , e desenhe o eixo saindo para cima (ou diagonal para cima). - No plano
desenhe a circunferência unitária (o “equador”). - Marque os polos
e acima e abaixo do centro; projete arcos conectando-os à circunferência do equador: arcos frontais visíveis e arcos traseiros tracejados (para indicar parte oculta). - Para mostrar seções, risque uma circunferência menor em
com raio e outra em ; isso dá sensação de volume. - Use sombreamento leve num lado para realçar a forma esférica. Lembre-se: curvas simétricas e sem pontas — esfera é “redondinha”.
Passo 12
Resumo final pedagógico (o que decorar para a prova):
- Para a equação
: centro , raio . Traços com planos coordenados são círculos (em ), etc. Seção por dá com os casos óbvios , , .
Resposta
Traços: em
; em
; em
.
Seções: em
(circunferência de raio
se
; ponto se
; vazia se
). Analogamente para
e
.
Superfície: esfera de centro
e raio
.
Esboço: esfera com equador
no plano
, polos em
, e seções horizontais círculos de raio
(desenhar arcos frontais e traseiros tracejados para indicar a parte oculta).