Nas equações abaixo, determine os traços, as seções, identifique a superfície quádrica e esboce seu gráfico:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1;

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
e pede: determinar os traços, as seções, identificar a superfície quádrica e esboçar o gráfico. Vou listar claramente o que cada pedido significa (sem resolver ainda):
  • Traços: interseções da superfície com os planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
  • Seções: interseções com planos paralelos aos planos coordenados, isto é, com planos do tipo z=k, x=k e y=k (para constantes k\in\mathbb{R}).
  • Identificar a superfície quádrica: dizer qual é o tipo (esfera, elipsoide, paraboloide etc.), centro e raio.
  • Esboçar o gráfico: indicar como desenhar/visualizar a superfície no espaço 3D.

Passo 2

O que significa calcular um traço e uma seção — rápida explicação didática:
  • Traço na reta/superfície de um plano é simplesmente pegar o plano (por exemplo z=0) e substituir na equação da superfície; a curva resultante no plano é o traço.
  • Seção por um plano paralelo a um plano coordenado (por exemplo z=k) se faz do mesmo jeito: substituir z=k na equação e analisar a curva obtida no plano z=k.
    Essas interseções costumam ser circunferências, retas ou vazias — aqui vamos ver circunferências e pontos.

Passo 3

Traço com o plano z=0. Substituo \;z=0\; em
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
e obtenho
x^{2}+y^{2}=1.
Interpretação: o traço com o plano z=0 é a circunferência unitária no plano xy (centro (0,0,0) quando vista nesse plano).

Passo 4

Traço com o plano y=0. Substituo \;y=0\;:
x^{2}+0^{2}+z^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+z^{2}=1.
Interpretação: o traço com o plano y=0 é a circunferência unitária no plano xz.

Passo 5

Traço com o plano x=0. Substituo \;x=0\;:
0^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}+z^{2}=1.
Interpretação: o traço com o plano x=0 é a circunferência unitária no plano yz.

Passo 6

Seções por planos horizontais z=k. Substituo \;z=k\; na equação:
x^{2}+y^{2}+k^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=1-k^{2}.
Agora analiso os casos possíveis:
  • Se |k|<1: 1-k^{2}>0, a seção é uma circunferência de raio \sqrt{1-k^{2}} situada no plano z=k.
  • Se |k|=1: 1-k^{2}=0, a seção é apenas um ponto (polo) no plano z=\pm1.
  • Se |k|>1: 1-k^{2}<0, não há interseção (seção vazia).
    Exemplo numérico: para k=\tfrac{1}{2} a seção é x^{2}+y^{2}=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{3}{4}, ou seja, circunferência de raio \sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866.

Passo 7

Seções por planos verticais x=k ou y=k. Mesma ideia:
  • Para x=k:
k^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}+z^{2}=1-k^{2}.
Idem interpretação: se |k|<1 é uma circunferência (no plano x=k) de raio \sqrt{1-k^{2}}; se |k|=1 é um ponto; se |k|>1 não há interseção.
  • Para y=k:
x^{2}+k^{2}+z^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+z^{2}=1-k^{2},
mesma conclusão.

Passo 8

Interessante geral: interseção com qualquer plano. Regra útil (conceito importante para a prova):
  • Seja uma esfera de raio R e centro C. A interseção com um plano P é, em geral, uma circunferência cujo raio depende da distância d do centro C ao plano P: o raio da circunferência é \sqrt{R^{2}-d^{2}} quando d\le R. Se d=R a interseção é um ponto (plano tangente); se d>R não existe interseção.
    No nosso caso C=(0,0,0) e R=1, então para um plano com distância d da origem a seção terá raio \sqrt{1-d^{2}}.

Passo 9

Identificação da superfície quádrica. A equação já tem a forma padrão de uma esfera centrada na origem:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
comparando com a forma geral (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2} vemos que a=b=c=0 e R=1. Portanto a superfície é uma esfera de centro (0,0,0) e raio 1.

Passo 10

Propriedades geométricas úteis para entender o esboço:
  • Polos (ponto mais alto e mais baixo): (0,0,1) e (0,0,-1).
  • Equador (interseção com z=0): circunferência x^{2}+y^{2}=1.
  • Simetria: a esfera é totalmente simétrica nas três coordenadas (permuta de x,y,z deixa a equação inalterada).
  • Em qualquer plano que passe pela origem a interseção é uma circunferência de raio 1 (chamada de grande círculo).

Passo 11

Como esboçar a esfera passo a passo (truques práticos para a prova, sem precisar desenhar em 3D complicado):
  1. Desenhe os eixos x, y no plano da folha formando o plano xy, e desenhe o eixo z saindo para cima (ou diagonal para cima).
  2. No plano z=0 desenhe a circunferência unitária x^{2}+y^{2}=1 (o “equador”).
  3. Marque os polos (0,0,1) e (0,0,-1) acima e abaixo do centro; projete arcos conectando-os à circunferência do equador: arcos frontais visíveis e arcos traseiros tracejados (para indicar parte oculta).
  4. Para mostrar seções, risque uma circunferência menor em z=\tfrac{1}{2} com raio \sqrt{1-(1/2)^{2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e outra em z=-\tfrac{1}{2}; isso dá sensação de volume.
  5. Use sombreamento leve num lado para realçar a forma esférica. Lembre-se: curvas simétricas e sem pontas — esfera é “redondinha”.

Passo 12

Resumo final pedagógico (o que decorar para a prova):
  • Para a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}: centro (0,0,0), raio R. Traços com planos coordenados são círculos x^{2}+y^{2}=R^{2} (em z=0), etc. Seção por z=k x^{2}+y^{2}=R^{2}-k^{2} com os casos óbvios |k|<R, |k|=R, |k|>R.

Resposta

Traços: em z=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}=1; em y=0 \Rightarrow x^{2}+z^{2}=1; em x=0 \Rightarrow y^{2}+z^{2}=1.
Seções: em z=k \Rightarrow x^{2}+y^{2}=1-k^{2} (circunferência de raio \sqrt{1-k^{2}} se |k|<1; ponto se |k|=1; vazia se |k|>1). Analogamente para x=k e y=k.
Superfície: esfera de centro (0,0,0) e raio 1.
Esboço: esfera com equador x^{2}+y^{2}=1 no plano z=0, polos em (0,0,\pm1), e seções horizontais círculos de raio \sqrt{1-z^{2}} (desenhar arcos frontais e traseiros tracejados para indicar a parte oculta).

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