A área \pi a b da elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 pode ser encontrada integrado a função f(x, y)=1 sobre a região delimitada pela elipse no plano x y. Calcular a integral diretamente exige uma substituição trigonométrica. Uma maneira mais fácil de calcular a integral é utilizar a transformação x=a u, y=b v e calcular a área sobre uma região S no plano u v. Encontre a área da elipse utilizando mudança de variável em integral dupla.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
e diz que a área da região interior pode ser calculada pela integral dupla da função 1 sobre essa região. Foi sugerida a transformação
x = a u,\qquad y = b v.
O que se pede: calcular a área da elipse usando essa mudança de variável. Informações relevantes fornecidas:
\text{equação da elipse: }\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \quad\text{transformação: }x=au,\;y=bv.çãçã

Passo 2

Vamos lembrar a ideia da mudança de variável em integrais duplas (explicação didática): se T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) é uma transformação suave e bijetora entre uma região S no plano uv e uma região R no plano xy, então para uma função contínua f vale
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\iint_{S} f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,|J(u,v)|\,du\,dv,
onde J(u,v) é o determinante jacobiano definido por
J(u,v)=\det\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Interpretação simples: |J(u,v)| é o fator de escala de área local — um pequeno retângulo em uv de área du\,dv vira, pela transformação, uma pequena região em xy de área aproximadamente |J|\,du\,dv.]

Passo 3

Aplicamos isso ao nosso caso: x=au e y=bv. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial u}=a,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial u}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=b.
Portanto o jacobiano é
J(u,v)=\det\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}=ab.
Como a>0 e b>0 (são semieixos), temos |J(u,v)|=ab constante.]

Passo 4

Precisamos também descrever a região S no plano uv que corresponde à elipse. Substituindo x=au e y=bv na equação da elipse obtemos
\frac{(au)^{2}}{a^{2}}+\frac{(bv)^{2}}{b^{2}}=u^{2}+v^{2}=1.
Logo a fronteira da elipse corresponde ao círculo unitário u^{2}+v^{2}=1 e a região interior da elipse corresponde ao disco unitário
S=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.

Passo 5

Agora montamos a integral da área. A área da elipse é
\text{Área}=\iint_{R} 1\,dA.Á
Pelo teorema da mudança de variável,
\text{Área}=\iint_{S} 1\cdot |J(u,v)|\,du\,dv = \iint_{S} ab\,du\,dv = ab\iint_{S} du\,dv.Á
Ou seja, é ab vezes a área do disco unitário S. Vamos calcular a área do disco unitário usando coordenadas polares em (u,v): u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta com 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi. O jacobiano das coordenadas polares é r, então
\iint_{S} du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta.
Calculando as integrais:
\int_{0}^{1} r\,dr=\left[\tfrac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
portanto
\iint_{S} du\,dv = 2\pi\cdot \tfrac{1}{2}=\pi.

Passo 6

Substituindo de volta:
\text{Área}=ab\cdot \pi=\pi a b.Á
Pronto — a área da elipse é \pi a b.

Resposta

\pi a b

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