Utilize a transformação x=u+\frac{v}{2}, y=v para calcular a integral
\int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{\frac{y+4}{2}} y^{3}(2 x-y) \mathrm{e}^{(2 x-y)^{2}} d x d y

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{\frac{y}{2}}^{\frac{y+4}{2}} y^{3}(2x-y)\mathrm{e}^{(2x-y)^{2}}\,dx\,dy
usando a transformação \;x=u+\frac{v}{2},\; y=v.
Informações dadas:
  • A transformação é \;x=u+\frac{v}{2} e \;y=v.
  • A região de integração original: y varia de \;0 a \;2; para cada y, x varia de \;x=\dfrac{y}{2} até \;x=\dfrac{y+4}{2}.
  • A integranda é y^{3}(2x-y)\mathrm{e}^{(2x-y)^{2}}.

Passo 2

Interpretação da substituição aplicada à integranda — simplificar a expressão 2x-y e y em termos de (u,v).
Usando \;x=u+\dfrac{v}{2} e \;y=v, calculamos
2x-y = 2\left(u+\dfrac{v}{2}\right)-v = 2u+v-v = 2u.
E também y=v. Portanto a integranda se transforma assim:
y^{3}(2x-y)\mathrm{e}^{(2x-y)^{2}} = v^{3}\cdot(2u)\,\mathrm{e}^{(2u)^{2}} = 2u\,v^{3}\,\mathrm{e}^{4u^{2}}.
Explico rapidamente por que fiz isso: reconhecer padrões (aqui 2x-y) é a mágica das trocas de variáveis — muitas vezes a mudança torna a expressão bem mais simples.

Passo 3

Cálculo do Jacobiano da transformação e por que ele entra na integral.
Temos a transformação direta
x(u,v)=u+\dfrac{v}{2},\qquad y(u,v)=v.
O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 \end{vmatrix} =1\cdot 1 - 0\cdot\tfrac{1}{2} = 1.
Como o Jacobiano é 1, o elemento de área dx\,dy se torna du\,dv (sem fator extra no módulo).
Breve justificativa didática: o Jacobiano mede a dilatação local da transformação — aqui não há dilatação (determinante 1), então áreas são preservadas localmente.]

Passo 4

Mapeamento da região de integração para as novas variáveis (u,v).
Na região original: \;0\le y\le 2 e, para cada y, \dfrac{y}{2}\le x\le \dfrac{y+4}{2}.
Como y=v, temos imediatamente
0\le v\le 2.
Para u usamos u=x-\dfrac{v}{2}. Aplicando os limites de x:
  • limite inferior: x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{v}{2} u_{\min}=\dfrac{v}{2}-\dfrac{v}{2}=0.
  • limite superior: x=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{v+4}{2} u_{\max}=\dfrac{v+4}{2}-\dfrac{v}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
Portanto a região em (u,v) é o retângulo simples:
0\le u\le 2,\qquad 0\le v\le 2.
Isso é ótimo: os limites de u não dependem de v, o que facilita a integração.

Passo 5

Reescrita completa da integral na nova variável com Jacobiano e novos limites.
Substituindo integranda, Jacobiano e limites obtemos
\int_{v=0}^{2}\int_{u=0}^{2} 2u\,v^{3}\,\mathrm{e}^{4u^{2}}\;du\;dv.
Observação: aqui dx\,dy = |J|\,du\,dv = 1\cdot du\,dv.

Passo 6

Separação das variáveis e cálculo da integral em u.
A integranda é produto de função só de u por função só de v, então podemos separar:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2} 2u\,v^{3}\,\mathrm{e}^{4u^{2}}\,du\,dv = \left(\int_{0}^{2} 2u\,\mathrm{e}^{4u^{2}}\,du\right) \left(\int_{0}^{2} v^{3}\,dv\right).
Vamos calcular a integral em u:
fazer a substituição \;t=4u^{2}. Então \;dt=8u\,du, ou seja \;2u\,du=\dfrac{dt}{4}.
Os limites: quando u=0\Rightarrow t=0; quando u=2\Rightarrow t=4\cdot 2^{2}=16.
Logo
\int_{0}^{2} 2u\,\mathrm{e}^{4u^{2}}\,du = \int_{t=0}^{16} \mathrm{e}^{t}\,\frac{dt}{4} = \frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{16}-\mathrm{e}^{0}\right) = \frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{16}-1\right).
Expliquei a substituição: é a técnica padrão para integrar algo da forma u\,\mathrm{e}^{\text{const}\cdot u^{2}}.

Passo 7

Cálculo da integral em v e combinação dos resultados.
A integral em v é polinomial e simples:
\int_{0}^{2} v^{3}\,dv = \left.\frac{v^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} = \frac{16}{4}=4.
Multiplicando os dois resultados:
\left(\frac{1}{4}\bigl(\mathrm{e}^{16}-1\bigr)\right)\cdot 4 = \mathrm{e}^{16}-1.

Passo 8

Conclusão e verificação rápida de coerência.
O resultado final é \mathrm{e}^{16}-1. Faz sentido porque a transformação simplificou 2x-y para 2u, fazendo aparecer \mathrm{e}^{4u^{2}}, cuja integral via substituição gera exatamente \mathrm{e}^{16} quando avaliada em u=2. A separação das variáveis tornou a conta direta.

Resposta

\mathrm{e}^{16}-1

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