Explico rapidamente por que fiz isso: reconhecer padrões (aqui 2x-y) é a mágica das trocas de variáveis — muitas vezes a mudança torna a expressão bem mais simples.
Passo 3
Cálculo do Jacobiano da transformação e por que ele entra na integral.
Temos a transformação direta
x(u,v)=u+\dfrac{v}{2},\qquad y(u,v)=v.
O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}:
Como o Jacobiano é 1, o elemento de área dx\,dy se torna du\,dv (sem fator extra no módulo).
Breve justificativa didática: o Jacobiano mede a dilatação local da transformação — aqui não há dilatação (determinante 1), então áreas são preservadas localmente.]
Passo 4
Mapeamento da região de integração para as novas variáveis (u,v).
Na região original: \;0\le y\le 2 e, para cada y, \dfrac{y}{2}\le x\le \dfrac{y+4}{2}.
Como y=v, temos imediatamente
0\le v\le 2.
Para u usamos u=x-\dfrac{v}{2}. Aplicando os limites de x:
limite inferior: x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{v}{2} dá u_{\min}=\dfrac{v}{2}-\dfrac{v}{2}=0.
limite superior: x=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{v+4}{2} dá u_{\max}=\dfrac{v+4}{2}-\dfrac{v}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
Portanto a região em (u,v) é o retângulo simples:
0\le u\le 2,\qquad 0\le v\le 2.
Isso é ótimo: os limites de u não dependem de v, o que facilita a integração.
Passo 5
Reescrita completa da integral na nova variável com Jacobiano e novos limites.
Substituindo integranda, Jacobiano e limites obtemos
Vamos calcular a integral em u:
fazer a substituição \;t=4u^{2}. Então \;dt=8u\,du, ou seja \;2u\,du=\dfrac{dt}{4}.
Os limites: quando u=0\Rightarrow t=0; quando u=2\Rightarrow t=4\cdot 2^{2}=16.
O resultado final é \mathrm{e}^{16}-1. Faz sentido porque a transformação simplificou 2x-y para 2u, fazendo aparecer \mathrm{e}^{4u^{2}}, cuja integral via substituição gera exatamente \mathrm{e}^{16} quando avaliada em u=2. A separação das variáveis tornou a conta direta.