1. Utilize a transformação x=u / v, y=u v para calcular a soma integral
\int_{1}^{2} \int_{1 / y}^{y}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y+\int_{2}^{4} \int_{y / 4}^{4 / y}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma de duas integrais duplas sobre regiões em (x,y), usando a transformação
x=\frac{u}{v},\quad y = u\,v.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas: vamos achar o jacobiano, reescrever o integrando e descrever a região correspondente em (u,v).

Passo 2

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y).
As derivadas são
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac1v,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{u}{v^2},\quad \frac{\partial y}{\partial u}=v,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=u,
portanto
J=\det\begin{pmatrix}1/v & -u/v^2\\[6pt]v & u\end{pmatrix} =\frac{u}{v}+\frac{u}{v}=\frac{2u}{v}.
O integrando original é x^2+y^2. Em (u,v) temos
x^2+y^2=\frac{u^2}{v^2}+u^2v^2
e multiplicando pelo jacobiano em módulo, o novo integrando é
\Bigl(\tfrac{u^2}{v^2}+u^2v^2\Bigr)\frac{2u}{v} =2u^3\Bigl(\tfrac1{v^3}+v\Bigr).]

Passo 3

Cada parte da integral cobre pontos com y=u\,v em dois intervalos: 1\le y\le2 e 2\le y\le4. Observa-se que, para ambas, u varia de 1 a 2 e v varia de 1 a 2. De fato, a união das duas regiões em (x,y) corresponde ao retângulo
1\le u\le2,\quad 1\le v\le2.

Passo 4

Assim, a soma das integrais em (x,y) vira uma única integral em (u,v) sobre esse retângulo:
\iint (x^2+y^2)\,dx\,dy =\int_{u=1}^{2}\int_{v=1}^{2}2u^3\Bigl(\tfrac1{v^3}+v\Bigr)\,dv\,du.

Passo 5

Primeiro integramos em v:
\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac1{v^3}+v\Bigr)\,dv =\Bigl[-\tfrac12v^{-2}\Bigr]_{1}^{2}+\Bigl[\tfrac{v^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\Bigl(-\tfrac12\cdot\frac1{4}+\tfrac12\Bigr)+\Bigl(\tfrac12\cdot4-\tfrac12\Bigr) =\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{15}{8}.
Então
\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}2u^3\Bigl(\tfrac1{v^3}+v\Bigr)\,dv\,du =\int_{1}^{2}2u^3\cdot\tfrac{15}{8}\,du =\frac{15}{4}\int_{1}^{2}u^3\,du =\frac{15}{4}\Bigl[\tfrac{u^4}{4}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{15}{4}\cdot\frac{15}{4} =\frac{225}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{225}{16}

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